Spiegare i passaggi.
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Livello 2
x^4/(x^2 - 4) = 16/(x^2 - 4) + x^2 + 4
(fai la divisione fra i due polinomi: x^2 + 4 è il quoziente e 16 il resto)
Poi fai:
16/(x^2 - 4) = a/(x + 2) + b/(x - 2)
16/(x^2 - 4) = (x·(a + b) - 2·(a - b))/((x + 2)·(x - 2))
16/(x^2 - 4) = (x·(a + b) - 2·(a - b))/((x + 2)·(x - 2))
Sistema:
{a + b = 0
{- 2·(a - b) = 16
Risolvi: [a = -4 ∧ b = 4]
16/(x^2 - 4) = - 4/(x + 2) + 4/(x - 2)
Deduci quindi che:
x^4/(x^2 - 4) = 4/(x - 2) - 4/(x + 2) + x^2 + 4
Per cui ottieni:
∫(x^4/(x^2 - 4))dx=
=4·LN|x - 2| - 4·LN|x + 2| + x^3/3 + 4·x +C
=4LN|(x-2)/(x+2)|+x^3/3 + 4·x +C
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Genius III