Integrazione di funzioni razionali frazionarie.

$ \int \frac{x^2}{x^4-16} \, dx = \int \frac{x^2}{(x+2)(x-2)(x^2+4)} \, dx = \; ⊳ $

Procediamo con la decomposizione 

$ \frac{x^2}{(x+2)(x-2)(x^2+4)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-2} + \frac{Cx+D}{x^2+4}$

$ x^2 = Ax^3-2Ax^2+4Ax-8A+Bx^3+2Bx^2+4Bx+8B+Cx^2 -4C $ dalla quale ricaviamo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} A+B &= 0 \\ -2A+2B+C &= 1 \\ 4A+4B &= 0 \\-8A+8B-4C &=0 \end{aligned} \right. $ 

La soluzione è

• $A = -\frac{1}{8}$
• $B = \frac{1}{8}$
• $C = \frac{1}{2}$

$ ⊳ \; = -\frac{1}{8} \int \frac{1}{x+2} \, dx + \frac{1}{8} \int \frac{1}{x-2} \, dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+4} \, dx = $

Abbiamo incontrato l'ultimo integrale varie volte. Si risolve riducendo il denominatore nella forma 1+x². Si ha così un arcotangente di x/2.

$ = -\frac{1}{8} ln|x+2| + \frac{1}{8} ln|x-2| + \frac{1}{4} arctan \left( \frac{x}{2} \right) + c = $

$ = \frac{1}{8} ln \frac{|x-2|}{|x+2|} + \frac{1}{4} arctan \left( \frac{x}{2} \right) + c $