Integrazione di funzioni razionali frazionarie.

1. Scomponiamo il denominatore. $x^4-x^2 = x^2(x+1)(x-1) $

$ \int \frac{1}{x^2(x+1)(x-1)} \, dx $

2. Decomponiamo 

$ \frac{1}{x^2(x+1)(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1} + \frac{D}{x-1} $

$ 1 = Ax(x^2-1) + B(x^2-1) + Cx^2(x-1) +Dx^2(x+1) $

$ 1 = Ax^3-Ax +Bx^2- B + Cx^3-Cx^2 + D x^3 + Dx $

Notiamo che:

1. B è l'unico coefficiente che contribuisce al termine noto quindi -B=1 cioè B=-1
2. Il coefficiente A è l'unico per la x quindi A = 0

Il sistema da risolvere risulta così più semplice

$ \left\{\begin{aligned} C+D &= 0 \\ -1+C-D &= 0 \end{aligned} \right.$   che rappresentano i coefficienti di x^2 e si x^3.

La soluzione è

• A = 0
• B = -1
• C = 1/2
• D = -1/2

L'integrale si riduce a

$ \int \frac{1}{x^2(x+1)(x-1)} \, dx = -\int \frac{1}{x^2} \, dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} \, dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} \, dx = \frac{1}{x} + \frac{1}{2} [ln |x-1| - ln|x+1|] + c =$

$= \frac{1}{x} + \frac{1}{2} ln {\frac{|x-1|}{|x+1|}} + c $