Integrazione di funzioni razionali frazionarie.

$ \int \frac{1}{(x+2)(1+x^2)} \, dx $

Si tratta di un integrale di una funzione razionale, decomponiamola in frazioni parziali 

$ \frac{1}{(x+2)(1+x^2)} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx+C}{1+x^2} $

$ 1 = A(1+x^2) + (Bx+C)(x+2) = A+Ax^2 + Bx^2+2Bx+Cx+2C  $ dalla quale ricaviamo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} A+B &= 0 \\2B+C &=0 \\ A+2C &= 1 \end{aligned} \right. $ 
la soluzione è

• $A = \frac{1}{5}$
• $B = -\frac{1}{5}$
• $B = \frac{2}{5}$

per cui

$ \int \frac{1}{(x+2)(1+x^2)} \, dx = \frac{1}{5}\int \frac{1}{x+2} \, dx + \frac{1}{5} \int \frac{-x+2}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{5} ln|x+2| - \frac{1}{5}\int \frac{x}{1+x^2} \, dx + \frac{2}{5} \int \frac{1}{1+x^2} \, dx =$

$ =\frac{1}{5} ln|x+2|  - \frac{1}{10}\int \frac{2x}{1+x^2} \, dx + \frac{2}{5} arctan x =  \frac{1}{5} ln|x+2|  - \frac{1}{10} ln|1+x^2| \, dx + \frac{2}{5} arctan x + c =$

$ = \frac{1}{5} ln|x+2|  - \frac{1}{10} ln(1+x^2) \, dx + \frac{2}{5} arctan x + c $