Integrazione di funzioni razionali frazionarie.

Vediamo se è possibile scrivere il denominatore nella forma 1 + x² che è proprio il denominatore della derivata dell'arcotangente. Il primo passo e di completare il quadrato, cioè scrivere un numero reale + un quadrato di un qualcosa nella variabile x. Ecco come 

$ x^2 + 3x +4 = $

per essere un quadrato il termine in x deve essere pari, cioè della forma 2*...x. Osserviamo che 

$ = x^2 + 2 \frac{3}{2} x +4 = $

risolve il problema, quindi il quadrato non può che essere (usando la tecnica della somma zero)

$ = x^2 + 2 \frac{3}{2} x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 4 $ 

$ \left(x+\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{7}{4} $

Passiamo all'integrale

$ \int \frac{1}{x^2+3x+4} \, dx = \int \frac{1}{ \left(x+\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{7}{4}} \, dx = \int \frac{4} {4\left(x+\frac{3}{2}\right)^2 + 7} \, dx = $

sostituzione. Poniamo $t = x + \frac{3}{2} \; ⇒ \; dt = dx $

$ = \int \frac{4} {4 t^2 + 7} \, dt = 4 \int \frac{1} {(2 t)^2 + 7} \, dt =  $

Mettiamo in evidenza il 7 

$ = \frac{4}{7} \int \frac{1}{(\frac{2 t}{\sqrt{7}})^2 + 1} \, dt =  $

sostituzione. $ y = \frac{2 t}{\sqrt{7}}  \; ⇒ \; \frac{2}{\sqrt{7}} dt = dy \; ⇒ \; dt = \frac {\sqrt{7}}{2} dy $

$ = \frac{2}{\sqrt{7}} \int \frac {1}{1+y^2} dy = \frac{2}{\sqrt{7}} arctan y + c =  \frac{2}{\sqrt{7}}  arctan \frac{2 t}{\sqrt{7}} + c = \frac{2}{\sqrt{7}}  arctan \frac{2x + 3}{\sqrt{7}} + c $