Integrazione di funzioni razionali frazionarie.

Se Δ < 0

∫(1/(a·x^2 + b·x + c))dx=

=2·ATAN((2·a·x + b)/√(4·a·c - b^2))/√(4·a·c - b^2) +C

1/(x^2 + x + 1) è la funzione integranda per cui si ha:

a=1

b=2

c=4

2·ATAN((2·1·x + 2)/√(4·1·4 - 2^2))/√(4·1·4 - 2^2) + C =

=√3·ATAN(√3·(x + 1)/3)/3 + C

Al riguardo vedi:

 

IT.VIDEO.SEARCH.YAHOO.COM"https://it.video.search.yahoo.com/search/video?fr=mcafee&p=integrali+della+funzione+1/ax^2+bx+c)&type=E210IT91212G0#id=1&vid=65e1872bebb08fbd0fbd0529e7e4434b&action=click"

integrali della funzione 1/ax^2 bx c) - Yahoo Video Search: risultati della ricerca di video

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Gli integrali delle funzioni razionali  hanno primitive che si esprimono con logaritmi, con polinomi o con arcotangenti. L'esperienza ci suggerisce l'arcotangente quindi riduciamo il denominatore nella forma 1+t².

1. Completiamo il quadrato. $ x^2+2x+4 = x^2 + 2x +1 + 3 = (x+1)^2 + 3 $

2. Scriviamo l'integrale e facciamo comparire 1 in sostituzione del 3.

$ = \int \frac{1}{3+ (x+1)^2} \, dx =$

mettiamo in evidenza il 3 al denominatore

$ = \int \frac{1}{3(1+ (\frac{x+1}{\sqrt{3}})^2)} \, dx = $

sostituzione $ t = \frac{x+1}{\sqrt{3}} \; ⇒ \; dt = \frac {dx}{\sqrt{3}} \; ⇒ \; dx = \sqrt{3} dt $

$ = \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{1}{1+t^2} \, dt = \frac{1}{\sqrt{3}} arctan t + c = \frac{1}{\sqrt{3}} arctan \left( \frac{x+1}{\sqrt{3}} \right)  + c $