Integrazione di funzioni razionali

Question

[attach]97658[/attach] Spiega i passaggi.

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$  int  frac {ln x}{(x+1)^2} , dx = $ Per parti. La presenza del logaritmo indirizza la scelta del fattore finito. fattore finito f(x) = ln x ; ⇒; f'(x) =  frac {1}{x} $ fattore differ. g'(x) =  frac {1}{(x+1)^2} ; ⇒ ; g(x) = - frac {1}{x+1} $ per cui $ = -  frac {ln x}{x+1} +  int  frac {1}{x(x+1)} , dx = $ Procediamo con la decomposizione  $  frac {1}{x(x+1)} =  frac {A}{x} +  frac {B}{x+1} $ $ 1 = Ax+A + Bx $ dalla quale ricaviamo il sistema $  left { begin {aligned} A+B &= 0  A &= 1  end {aligned}  right . $ la soluzione è A = 1$ B = -1$  $ = -  frac {ln x}{x+1} +  int  frac {1}{x} , dx -  int  frac {1}{x+1} , dx = -  frac {ln x}{x+1} + ln x - ln (x+1) + c =  frac {x . ln x}{x+1} - ln (x+1) + c $

Integrazione di funzioni razionali

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