Integrali impropri

$ \int_0^{+\infty} sin(e^x) \, dx =$

Si tratta di un integrale improprio a segno variabile. A primo acchito applicare, in modo naive, l'assoluta convergenza non fa che peggiorare le cose. Sarebbe interessante portar fuori il termine esponenziale dal seno

$ =  \int_0^{+\infty} e^{-x} \cdot e^x \, sin(e^x) \, dx $

Affrontiamolo per parti 

• fattore finito. $ f(x) = e^{-x}  \; ⇒ \; f'(x) = - e^{-x} $
• fattore differ. $ g'(x) = e^x sin(e^x) \; ⇒ \; g(x) = - cos(e^x) $

per cui

$  -e^{-x} cos(e^x) - \int_0^{+\infty} e^{-x}cos(e^x) \, dx $

Il primo addendo è un numero che tende a zero per x che tende a +∞, quindi facilmente maggiorabile.

Il secondo addendo è ancora un integrale improprio ma, questa volta, possiamo affermare che è convergente. Infatti, se consideriamo l'assoluta convergenza

  $\int_0^{+\infty} e^{-x}|cos(e^x)| \, dx $ 

l'integranda positiva può essere maggiorata con

$ 0 \le e^{-x}|cos(e^x)| \le e^{-x}$ 

e  l'integrale $\int_0^{+\infty} e^{-x} \, dx$ è convergente (vale 1)

Così abbiamo provato l'assoluta convergenza, quindi l'integrale con il sin(e^x) è assolutamente convergente, ovvero l'integrale dato è convergente.