Secondo Giovanni, il valore dell'integrale $\int_{-1}^1 \frac{x}{1-x^2} d x$ è 0 , essendo la funzione integranda dispari e l'intervallo d'integrazione simmetrico rispetto all'origine. Secondo Monica, invece, l'integrale dato è improprio e non convergente. Uno dei due è in errore: chi? Spiega.
Cambierebbe la risposta se la funzione integranda fosse $\frac{x}{4-x^2}$ ?
Spiegare gentilmente e argomentare
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Livello 2
E' un integrale improprio nei due punti x = -1 e x = 1 dove la funzione non è limitata. Affrontiamo ogni singolo problema separatamente.
Consideriamo
$ I = \int_0^1 \frac{x}{1-x^2} \, dx $
$ I = \displaystyle\lim_{a \to 1^-} \int_0^a \frac{x}{1-x^2} \, dx $
rendiamolo immediato
$ I = -\frac{1}{2} \displaystyle\lim_{a \to 1^-} \int_0^a \frac{-2x}{1-x^2} \, dx $
$ I = -\frac{1}{2} \displaystyle\lim_{a \to 1^-} \left. ln(1-x^2) \right|_0^a $
$ I = -\frac{1}{2} \displaystyle\lim_{a \to 1^-} ln|1-a^2| + \frac{1}{2} ln(1) = -\infty;$
ovvero diverge.
Risulta del tutto inutile calcolare l'altro integrale, per convenzione è sufficiente che l'integrale, definito in una parte del campo di integrazione, sia divergente per affermare che l'intero integrale è divergente. In altre parole non valgono le compensazioni/ simmetrie.
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Livello 6
