Calcola l'integrale se convergente.
Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.
Calcola l'integrale se convergente.
Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.
11881
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Livello 2
L'integrale è convergente, essendo un caso del seguente integrale notevole.
$ \int_2^{+\infty} \frac{1}{x \cdot ln^α} \, dx $
è:
Calcoliamo a parte l'indefinito per poi applicare il comportamento in frontiera.
$ \int \frac{1}{x \cdot ln^3 x} \, dx = $
per sostituzione. Poniamo $t = ln x \; ⇒ \; dt = \frac{1}{x} dx $
$ = \int \frac{1}{t^3} \, dt = $
$ = -\frac{1}{2t^2} + c = $
$ = -\frac{1}{2ln^2 x} + c $
Passiamo all'improprio
$ I = \displaystyle\lim_{a \to +\infty} \int_e^a \frac{1}{x \cdot ln^3 x} \, dx $
$ I = \displaystyle\lim_{a \to +\infty} \left. -\frac{1}{2ln^2 x} \right|_e^a $
$ I = \displaystyle\lim_{a \to +\infty} -\frac{1}{2ln^2 a} + \frac{1}{2ln^2 e} = \frac{1}{2} $
21742
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Livello 6