Integrali, equazioni differenziali

Calcolo retta t

y = - 2·x^3  per x = 1: y = - 2·1^3

Punto di tangenza: [1, -2]

y'(1)= m coefficiente angolare retta t

y' = - 6·x^2-----> m = - 6·1^2= -6

y + 2 = - 6·(x - 1)----> y = 4 - 6·x

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Calcolo area A

{y = 4 - 6·x

{y = 0

x = 2/3 ∧ y = 0

[2/3, 0] intersezione t con asse delle x

Calcolo A come somma di due integrali

0 - (- 2·x^3) = 2·x^3

∫(2·x^3) dx = x^4/2

valutato da x = 0 ad x = 2/3

A1= (2/3)^4/2 = 8/81, poi

4 - 6·x - - 2·x^3 = 2·x^3 - 6·x + 4

∫(2·x^3 - 6·x + 4) dx = x^4/2 - 3·x^2 + 4·x

valutato da x = 2/3 ad x=1

1^4/2 - 3·1^2 + 4·1 = 3/2

(2/3)^4/2 - 3·(2/3)^2 + 4·(2/3) = 116/81

A2=3/2 - 116/81 = 11/162

A = A1+A2 = 8/81 + 11/162----> Α = 1/6

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Il volume di rotazione V si ottiene come differenza di due integrali

pi·(- 2·x^3)^2 = 4·pi·x^6

∫(4·pi·x^6)dx= 4·pi·x^7/7

valutato da x=0 ad x=1

V1=4·pi·1^7/7 = 4·pi/7

pi·(4 - 6·x)^2 = 4·pi·(3·x - 2)^2

∫(4·pi·(3·x - 2)^2) dx =4·pi·(3·x - 2)^3/9

valutato da x = 2/3 ad x = 1

4·pi·(3·1 - 2)^3/9= 4·pi/9

4·pi·(3·(2/3) - 2)^3/9 = 0

V2= 4·pi/9 - 0 = 4·pi/9

V = V1-V2 = 4·pi/7 - 4·pi/9---> V =8·pi/63