Integrali di equazioni lineari

Riscriviamola, supponendo x ≠ 0, come

$ y' -\frac{1}{x}y = 1-\frac{1}{x} $    con x > 0

ODE di primo ordine a coefficienti variabili.  Usiamo la formula del fattore integrante

$ y(x) = c \cdot e^{-A(x)} + e^{-A(x)} \int e^{A(t)}  b(t) \, dt $

dove:

1. a(x) è il coefficiente variabile di y (nel ns. caso -1/x)
2. A(x) è una primitiva di a(x)
3. b(x) è il termine non omogeneo (nel ns. caso 1 - 1/x)

Calcoliamo A(x)

• $ A(x) = \int a(x) dx \, dx = -ln(x) $

Applichiamo la formula

$ y(x) = c \cdot e^{ln(x)} + e^{ln(x)} \int e^{-ln(x)} \cdot (1 - \frac{1}{x}) \, dx $

$ y(x) = c \, x + x \int \frac{1}{x}(1 - \frac{1}{x}) \, dx $

$ y(x) = c \, x + x (ln x + \frac{1}{x} ) $

$ y(x) = c \, x + x \cdot ln x + 1 $

Nel caso di x < 0. Modifichiamo le formule a partire da 

Calcoliamo A(x)

• $ A(x) = \int a(x) dx \, dx = ln(-x) $

Applichiamo la formula

$ y(x) = c \cdot e^{ln(-x)} + e^{ln(-x)} \int e^{-ln(-x)} \cdot (1 - \frac{1}{x} ) \, dx $

$ y(x) = c \, (-x) - x \int \frac{1}{-x}(1 - \frac{1}{x}) \, dx $

essendo c reale può assumere anche valori negativi

$ y(x) = c \, x + x (ln |x| + \frac{1}{x} ) $

$ y(x) = c \, x + x \cdot ln |x| + 1 $