Risolvere l'integrale CON e SENZA la tecnica X SOSTITUZIONE.
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
Risolvere l'integrale CON e SENZA la tecnica X SOSTITUZIONE.
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
$ \int_0^{\pi} sinx \sqrt{1+cosx} \, dx = $
a. CON
Poniamo $ t = 1+cosx \; ⇒ \; sinx \, dx = - dt$ inoltre
$ = - \int_2^0 t^{\frac{1}{2}} \, dt = $
$ = \int_0^2 t^{\frac{1}{2}} \, dt = $
$ = \left. \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} \right|_0^2 = $
$ = \frac{2}{3} \cdot 2 \sqrt{2} = \frac{4}{3} \sqrt{2} $
b. SENZA
$ \int_0^{\pi} (1+cosx)^\frac{1}{2} \cdot sin x \, dx = $
osserviamo che sin x è eguale all'opposto della derivata prima 1+cosx per cui applicando la formula dell'integrale immediato relativo alle potenze
$ = - \left. \frac{2}{3} (1+cosx)^\frac{3}{2} \right|_0^{\pi} =$
$ = \frac{2}{3} (2 \sqrt{2}) = $
$ = \frac{4}{3} \sqrt{2} $
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Livello 6