Integrali

Question

[attach]115802[/attach] Risolvere l'integrale CON e SENZA la tecnica X SOSTITUZIONE.Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.

cmc · Accepted Answer

$  int _0^{ pi } 3x + sin(2x) , dx =  int _0^{ pi } 3x , dx +  int _0^{ pi } sin(2x) , dx  = $   a. CON $ =  int _0^{ pi } 3x , dx +  int _0^{ pi } sin(2x) , dx  = $ $ =  left .  frac {3x^2}{2}  right |_0^{ pi } +  int _0^{ pi } sin(2x) , dx  = $ $ =  frac {3  pi ^2}{2} +  int _0^{ pi } sin(2x) , dx  = $ Poniamo $ t = 2x ; ⇒ ;  frac {dt}{2} = dx $   Inoltre  Se x = 0 allora t = 0 Se x = π allora t = 2π   $ =  frac {3  pi ^2}{2} +  frac {1}{2}  int _0^{2 pi } sint , dt  = $ $ =  frac {3  pi ^2}{2} + 0 =$ $ =  frac {3  pi ^2}{2}     b. SENZA $ =  int _0^{ pi } 3x , dx +  int _0^{ pi } 2sin(x)cos(x) , dx  = $ $ =  frac {3  pi ^2}{2} + 2  int _0^{ pi } sin(x) cos(x) , dx  = $ Osserviamo che il coseno è la derivata del seno $ =  frac {3  pi ^2}{2} +  left . 2 .  frac {1}{2} sin^2(x)   right |_0^{ pi } = $ $ =  frac {3  pi ^2}{2} +  left . sin^2(x)   right |_0^{ pi } = $ $ =  frac {3  pi ^2}{2} + 0 =$ $ =  frac {3  pi ^2}{2}

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