iNTEGRALI

a. CON

$ = \int \frac{6}{x^2+4} \, dx - \int \frac {x}{x^2+4} \, dx = $

Poniamo. $ 2t = x \; ⇒ \; 2dt = dx $

$= \int \frac{6}{(2t)^2+4} \, 2dt - \int \frac{2t}{(2t)^2+4} \, 2dt =$

$= \frac{6}{4} \int \frac{1}{t^2+1} \, 2dt  - \frac{1}{2} \int \frac{2t}{t^2+1} \, dt = $

$= \frac{12}{4} \int \frac{1}{t^2+1} \, dt  - \frac{1}{2} ln(t^2+1) = $

$= 3 arctan(t) - \frac{1}{2} ln(t^2+1) = $

Ritorniamo alla variabile originaria

$= 3 arctan(\frac{x}{2}) - \frac{1}{2} ln(\frac{x^2}{4}+1) + c$

b. SENZA

Sviluppiamo separatamente i due integrali

b.1  $ \int \frac{6}{x^2+4} \, dx = $

$ = \frac{6}{4} \int \frac{1}{(\frac{x}{2})^2+1} \, dx = $

$ = \frac{12}{4} \int \frac{1}{(\frac{x}{2})^2+1} \, d(x/2) = $

$ = 3 arctan(\frac{x}{2}) + c

b.2  $ - \int {x}{x^2+4} \, dx = $

$ = - \frac{1}{2} \int {2x}{x^2+4} \, dx = $

$ = - \frac{1}{2} ln(x^2+4) + c$

Si tratta di dimostrare che questo risultato coincide con il precedente.

$ - \frac{1}{2} ln(x^2+4) +c = $

$ = - \frac{1}{2} ln[ 4 ((\frac{x}{2})^2+1)] + c= $

$ = - \frac{1}{2} [ln4 + ln((\frac{x}{2})^2+1)] +c = $

$ = - \frac{1}{2} ln4 - \frac{1}{2}  ln((\frac{x}{2})^2+1)] +c = $

Il primo addendo è un numero quindi può essere introdotto nella costante c

$ = - \frac{1}{2}  ln((\frac{x}{2})^2+1)] +c $