Integrali

Cominciamo a determinare S = S_[-1,1] e^x/(e^x + 1) dx = [ ln (e^x + 1) ]_[-1,1] =

= ln (e + 1) - ln ( 1/e + 1) = ln e + ln ( 1 + 1/e ) - ln (1 + 1/e) = 1

Se y = q

l'area del rettangolo é S_[-1,1] q dx = 2 q

e 2q = 1 => q = 1/2

Se l'altezza é 1/2,

e^x/(e^x + 1) = 1/2

2 e^x = e^x + 1

e^x = 1

x = ln 1 = 0 che é compreso in [-1,1].

* f(x) = y = e^x/(e^x + 1)
* F(x) = ∫ f(x)*dx = ln(e^x + 1) + c
* I(f, a, b) = F(b) - F(a) = ln((e^b + 1)/(e^a + 1))
* I(f, - 1, 1) = ln((e + 1)/(1/e + 1)) = 1
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Se "determina un rettangolo equivalente al trapezoide" sottintende "sulla medesima base [- 1, 1]" allora affinché un rettangolo con
* base b = |- 1 - 1| = 2
* altezza h = q
abbia area
* S = b*h = 2*q = I(f, - 1, 1) = 1
occorre e basta che sia q = 1/2.
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Infine le intersezioni; il sistema
* (y = 1/2) & (y = e^x/(e^x + 1))
ha risolvente
* 1/2 = e^x/(e^x + 1) ≡
≡ (e^x + 1)/2 = e^x ≡
≡ (e^x + 1)/2 - e^x = 0 ≡
≡ e^x = 1 ≡
≡ x = 0
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x%5E2-1%29*y*%28y-1%2F2%29%3D0%2Cy%3De%5Ex%2F%28e%5Ex%2B1%29%5Dx%3D-2to2%2Cy%3D-1%2F2+to1