[Risolto] integrale indefinito

x^2 - x - 2 = x^2 - 2x + x - 2 = x(x - 2) + (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Scrivi     (5x - 1)/((x + 1)(x -2)) =  A/(x + 1) + B/(x - 2)

per il principio di identità dei polinomi

A(x - 2) + B(x + 1) = 5x - 1

 

A + B = 5

-2A + B = -1

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3A = 6

A = 2 e B = 3

 

Devi integrare

2/(x + 1) + 3/(x - 2)

e ne risulta

2 ln |x + 1| + 3 ln |x - 2| + C

 

Confermato da Symbolab

Vedi alle righe 5 e 6 della seconda parte della Tavola al link
http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_degli_integrali_indefiniti_di_funzioni_razionali
Il solo dettaglio per integrare una funzione razionale fratta con il numeratore di grado inferiore al denominatore (se non è così basta prima calcolare quoziente e resto) è di scomporla in somma di frazioni parziali e poi distribuire l'integrale sulla somma.
* f(x) = (5*x - 1)/(x^2 - x - 2) = 2/(x + 1) + 3/(x - 2)
* F(x) = ∫ f(x)*dx = ∫ (5*x - 1)*dx/(x^2 - x - 2) =
= 2*∫ dx/(x + 1) + 3*∫ dx/(x - 2) =
= 2*ln(x + 1) + 3*ln(x - 2) + c