[Risolto] Integrale improprio

E' semplice, anche senza usare i residui.

 

Scomponi l'integrando in fratti semplici come

(Ax + B)/(x^2 + 1) + (Cx + D)/(x^2 + 4)

 

(Ax + B)(x^2 + 4) + (Cx + D)(x^2 + 1) = 1

 

 Ax^3 + Bx^2 + 4Ax + 4B

+Cx^3 + Dx^2 + Cx + D      =   1

 

 

A + C = 0   =>  C = - A

B + D = 0   =>  D = - B

4A + C = 0

4B + D = 1

 

e sostituendo le prime due nelle altre due

 

A = C = 0,

3B = 1 =>  B = 1/3  e   D = -1/3

 

 

Si ottiene allora    1/3   S_[0,+oo]  ( 1/(x^2 + 1) - 1/(x^2 + 4) ) dx

 

e poichè   S 1/(x^2 + a^2) dx = 1/a * arctg (x/a) + C

 

e quindi  S_[0,+oo] 1/(x^2 + a^2) dx = pi/(2a)

 

il tuo integrale vale    1/3 * [ pi/2 - pi/4 ] = pi/12

 

 

 

Ciao! Io lo farei usando la scomposizione del denominatore in somma di due frazioni.

$\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+4} $

che ci dà (facendo il minimo comune multiplo e uguagliando i numeratori ottenuti) $Ax^3+Bx^2+4Ax+4b+Cx^3+Cx+Dx^2+D = 1 $ 

da cui il sistema (confrontando i coefficienti delle due espressioni termine a termine) $\begin{cases}A+C = 0  \text{ perché non c'è un termine in $x^3$ }\\ B + D = 0 \text{ perché non c'è un termine in $x^2$ } \\ 4A + C = 0  \text{ perché non c'è un termine in $x$ }\\ 4B + D = 1 \text{ perché il termine noto è $1$ }\end{cases}$   che ci porta al risultato: $\begin{cases} A = 0 \\ B = \frac13 \\ C = 0 \\ D = -\frac{1}{3} \end{cases} $

quindi l'integrale può essere scomposto in:

$\int_{0}^{+\infty} \big[ \frac{1}{3(x^2+1)} - \frac{1}{3(x^2+4)} \big] dx $

che si vede facilmente essere una somma di arcotangenti: nel primo caso basta portare fuori il coefficiente $\frac13$: $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{3(x^2+1)} dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^2+1} dx = \frac{1}{3} \arctan(x) $ 

Nel secondo caso, oltre a portare fuori il coefficiente, dobbiamo raccogliere $4$: $\int_{0}^{+\infty} - \frac{1}{3(x^2+4)} dx$ = $-\frac13 \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\frac{1}{4}(\frac{x^2}{4}+1)} dx$ = $- \frac{4}{3} \int_{0}^{+\infty}  \frac{1}{(\frac{x}{2})^2+1} dx  = -\frac{1}{6} \arctan(\frac{x}{2})$.

Quindi otteniamo:

$$ \frac{1}{3} \arctan(x)-\frac{1}{6} \arctan(\frac{x}{2}) |_{0}^{+\infty} $$

che ci dà:

$$\frac{1}{3} \frac{\pi}{2} - \frac{1}{6} \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{12} $$