Integrale ed equazioni differenziali

Inversa proporzionalità tra grandezze, resta costante il prodotto;

f(x) * f'(x) = 2;

f(0) = 1;

y * y' = 2;

y(0) = 1;

y * (dy/dx) = 2;

separiamo le variabili:

y dy = 2 dx;

integriamo:

∫y dy = ∫2 dx;

(y^2) /2 = 2x + c;

y^2 = 4x + C;

y = radicequadrata(4x + C);

y(0) = 1;   troviamo la costante:

radice(4 * 0 + C) = 1;

radice(C) = 1; C = 1;

verifichiamo:

f(x) = radicequadrata(4x + 1).

f'(x) = 1/2 * [(4x + 1)^(-1/2)] * 4;

f'(x) = 2 / [radicequadrata(4x + 1)];

f(x) * f'(x) = [ radicequadrata(4x + 1)] * 2 / [radicequadrata(4x + 1)] = 2.

Ciao @alby

f(x) è inversamente proporzionale alla sua derivata con costante di proporzionalità pari a 2, cioè 

$ f(x) \cdot f'(x) = 2 $

Il problema di Cauchy  che rappresenta il problema è

$ \begin{cases} f(x) \cdot f'(x) = 2 \\ f(0) = 1  \end{cases} $

Risolviamolo.

L'ODE è del tipo a variabili separabili

1. Separare. $y \, dy = 2 \, dx$
2. Integrare. $ \int y \, dy = 2 \int \, dx \; ⇒ \; \frac{y^2}{2} = 2x + c $
3. Esplicitare. $ y^2 = 4x + c \; ⇒ \; y = \sqrt{4x+c} $

Risolviamo Cauchy

$ y(0) = 1 \; ⇒ \; \sqrt{c} = 1 \; ⇒ \; c = 1 $

La funzione soluzione del problema è così

$ y(x) = \sqrt{4x+1} $