Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
Si tratta di due integrali immediati.
i) $ \int_0^2 f(x) \cdot f'(x) \, dx =\left. \frac{f^2(x)}{2} \right|_0^2 =$
$ = \frac{f^2(2)}{2} - \frac{f^2(0)}{2} = \frac {e^2-1}{8} $
ii) $ \int_0^2 \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx =\left. ln(f(x)) \right|_0^2 =$
nota la funzione f(x) è positiva per ipotesi
$ = ln(f(2)) - ln(f(0)) = 1 \; ⇒ \; \frac{f(2)}{f(0)} = e $
Per semplicità definiamo
Si ha così il sistema
$ \left\{\begin{aligned} a &= e \cdot b \\ a^2-b^2 &= \frac {e^2-1}{4} \end{aligned} \right. $
La cui soluzione è
$ a = ln(2) = \frac{e}{2} $
$ b = ln(0) = \frac{1}{2} $
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Livello 6