[Risolto] Integrale doppio.

Cominciamo a ragionare sul dominio di integrazione.

Le equazioni:

$ x^2 + y^2 = \sqrt{2}$

e

$ x^2 + y^2 = 1/2$

sono due circonferenze di centro l'origine e di raggio rispettivamente $\sqrt[4]{2}$ e $\sqrt{1/2}$.

La disequazione indica dunque la corona circolare compresa tra le due circonferenze.

Abbiamo inoltre la condizione $|y| \leq x$, che possiamo riscrivere come $-x \leq y \leq x$

Considerando che $y = -x$ e $y = x$ sono le bisettrici dei quadranti, vuol dire che dobbiamo prendere la parte compresa tra le due bisettrici. Nota inoltre che va presa solo la parte del 1-4 quadrante perché essendo $0<|y|\leq x$, dobbiamo prendere solo le ascisse positive.

Questo è dunque il nostro dominio:

Essendo un dominio formato da segmenti di circonferenza, conviene parametrizzarlo usando le coordinate polari:

{$ x = \rho cos\theta$

{$ y = \rho sin\theta$

dove $\rho$ è compreso tra i raggi delle due circonferenze::

$ \sqrt{1/2} \leq \rho \leq \sqrt[4]{2}$

 mentre l'angolo va dalla bisettrice $y=-x$ alla bisettrice $y=x$ cioé:

$ -\pi/4 \leq \theta \leq \pi/4$

Abbiamo tutto per riscrivere l'integrale:

$\int_\sqrt{1/2}^{\sqrt[4]{2}} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{9}{2} \frac{\rho cos\theta (\rho sin\theta)^2}{\rho^2} \rho d\rho d\theta$

Attenzione allo Jacobiano che è $\rho$ e che compare quando passiamo in coordinate polari.

Svolgendo i calcoli e semplificando i $\rho$:

$ \frac{9}{2} \int_\sqrt{1/2}^{\sqrt[4]{2}} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \rho^2 cos\theta sin^2 \theta d\rho d\theta$

Otteniamo un integrale in cui possiamo integrare separatamente le parti in $\rho$ e quelle in $\theta$:

$ \frac{9}{2} \int_\sqrt{1/2}^{\sqrt[4]{2}} \rho^2 d\rho \int_{-\pi/4}^{\pi/4} cos\theta sin^2 \theta d\theta$

L'integrale in $\rho$ è proprio una banalità:

$ \int_\sqrt{1/2}^{\sqrt[4]{2}} \rho^2 d\rho = [\frac{\rho^3}{3}]_\sqrt{1/2}^{\sqrt[4]{2}} = \frac{\sqrt[4]{8}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{12}$

L'altro è una funzione composta in cui abbiamo la potenza del seno e la sua derivata è proprio il coseno, quindi si integra come potenza:

$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} cos\theta sin^2\theta d\theta = [\frac{sin^3 \theta}{3}]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{6}$

Concludiamo facendo il prodotto di tutto:

$ I = \frac{9}{2} (\frac{\sqrt[4]{8}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{12})(\frac{\sqrt{2}}{6})$

Lascio a te fare i calcoli

Noemi