[Risolto] Derivata direzionale e versore

le componenti del gradiente sono

df/dx = e^(x+y) - cos y

df/dy = e^(x+y) - x sin y

nel punto (1,0)

u = e - 1

v = e

Se (a,b) sono le componenti del versore richiesto

a(e - 1) + be = max

a^2 + b^2 = 1

allora poniamo a = cos f e b = sin f

(e - 1) cos f + e sin f = max

ricorrendo all'angolo aggiunto

(e-1)/d cos f + e/d sin f = max con d = sqrt((e-1)^2 + e^2)

sin q cos f + cos q sin f = max

sin (f + q) = max

f = pi/2 - q

sin q = e/d

cos q = (e-1)/d

tg f = (e-1)/e

per l'altra domanda invece

a(e - 1) + be = 0

b = a(1-e)/e

e trovi a imponendo a^2 + b^2 = 1

 

La funzione
* f(x, y) = e^(x + y) - x*cos(y)
il suo gradiente
* ∇f(x, y) = (e^(x + y) - cos(y), e^(x + y) + x*sin(y))
il generico versore
* v(u/√(u^2 + v^2), v/√(u^2 + v^2))
la generica derivata direzionale
* D(x, y, u, v) = v.∇f(x, y) = ((u + v)*e^(x + y) - u*cos(y) + v*x*sin(y))/√(u^2 + v^2)
e la sua espressione in P(1, 0)
* D(1, 0, u, v) = ((u + v)*e^(1 + 0) - u*cos(0) + v*1*sin(0))/√(u^2 + v^2) =
= ((e - 1)*u + e*v)/√(u^2 + v^2)
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Il calcolo di zeri ed estremi della funzione
* d(u, v) = ((e - 1)*u + e*v)/√(u^2 + v^2)
ti dovrà dare
* d(- (e/(e - 1))*v, v) = 0
* d(- 1, - e/(e - 1)) <= d(u, v) <= d(1, e/(e - 1))