[Risolto] integrale definito

Purtroppo sono fuori con il cellulare e non ti posso postare i passaggi, ma se integri per parti due volte dovresti poterlo risolvere in maniera semplice.

Rientra nella famiglia

 

S e^(at) sin bt dt       con a = -2 e b = 4

Distinguiamo due casi

a) conosci bene i numeri complessi.

 

In questo caso  sin bt = Im e^(ibt)

 

S e^(at) * Im e^(ibt) dt =  Im  S e^[(a+ib) t] dt =  Im [ e^(a+ib) t ] /(a + ib) + C =

Im [ (a-ib) e^(at) ( cos bt + i sin bt ) ]/(a^2+b^2)  + C =

= e^(at)  (a sin bt - b cos bt )/(a^2 + b^2)  + C

e finisce qua;

 

e^(-2t) * ( - 2 sin 4t - 4 cos 4t )/(4 + 16) =

 

= - e^(-2t)/10 * ( sin 4t + 2 cos 4t)

 

e da qui si procede facilmente sottraendo - 1/5 che è il valore in 0.

 

b) i passaggi precedenti sembrano scritti in vietnamita antico.

 

In tal caso è consigliabile procedere ad una integrazione per parti, che è la via maestra

 

I = S e^(at) sin bt dt =

= e^(at) [ - cos bt / b ] - S a e^(at) [ - cos bt / b ] dt =

= - e^(at)/b cos bt + a/b S e^(at) cos bt dt =

= - e^(at)/b cos bt + a/b [ e^(at) sin bt / b - S a e^(at) sin bt / b ] =

= - e^(at)/b cos bt + a/b^2 e^(at) sin bt - a^2/b^2 * I

 

da cui

 

I ( 1 + a^2/b^2 ) = e^(at)/b^2 [ - b cos bt + a sin bt ] + C

I = e^(at)/(a^2 + b^2) * ( a sin bt - b cos bt ) + C

 

Sostituendo in I i valori a = - 2, b = 4

e sottraendo il valore per t = 0 si arriva a

e^(-2t)/(4+16) * [ - 2 sin 4t - 4 cos 4t ] - 1/(4+16) * (-4) =

= 1/5 - e^(-2t) /10 * (sin 4t + 2 cos 4t)