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[Risolto] Area compresa tra più funzioni (es. N°3 e possibilmente il n°4)  

  

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3) Calcolare l'area della regione di piano delimitata dalle due curve, dall'asse delle y e dalla retta $x = k ( k >0)$ ed il limite a cui tende la suddetta area al tendere di $k$ a $+\infty$

4) In un riferimento cartesiano, dove le lunghezze sono espresse in metri (m), le due curve, l'asse delle y e la retta $x =1$ rappresentino il contorno di una spira immersa in un campo magnetico perpendicolare ad essa e variabile secondo la legge
\[
B = B _{0} e ^{-\pi t } \cos (\pi t ) \operatorname{con} B _{0}=2,010^{-2} T e t >0
\]Supponendo che la spira abbia una resistenza pari a $10 \Omega$ determinare l'intensità di corrente che circola nella spira in funzione del tempo t. Spiegare quale relazione esiste tra la variazione del campo che induce la corrente e il verso della corrente indotta.

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Autore

@ernanidale non vedo gli esercizi

@ernanidale puoi mettere un'immagine degli esercizi. grazie.

1 Risposta
2

Per risolvere i punti 3 e 4 bisogna prima considerare il punto 1 per trovare le funzioni necessarie allo svolgimento dell'integrale.

La forma di entrambe le funzioni è del tipo y=a*e^x + b*e^-x

1) la derivata di questo tipo di funzioni sarà della forma y'=a*e^x - b*e^-x

se vogliamo un minimo in (0;4) significa che 4=a-b (sostituendo) ed inoltre, siccome il punto di minimo è appartenente alla retta troverò che 4=a+b

quindi la mia prima eq. sarà y=4e^x

per la seconda invece sappiamo che 0=a+b e che 4=a-b

la seconda eq sarà y=2e^x - 2e^-x 

ora che abbiamo le due funzioni procediamo con il punto 3.

3) questa è la situazione: 

Cattura

Dobbiamo trovare l'area compresa tra le due funzioni mettendo come estremi x=0 (che sarebbe l'asse delle y) e x=k che è un parametro.

come ben sappiamo, l'area compresa tra due curve è l'integrale della differenza tra le due curve stesse. 

quindi faremo l'integrale di y1-y2 cioè  4e^x - 2e^x + 2e^-x 

ovvero l'integrale di 2e^x +2e^-x 

Questo integrale è banale e ha come risultato 2e^x - 2e^-x  (come la y2) 

sostituendo gli estremi di integrazione scopriamo che l'area compresa tra x=0 e x=k è

A= 2e^k - 2e^-k 

cosa succede se k tende all'infinito? semplicemente si fa il limite e si nota che anche l'area tende all'infinito.

4) in questo ci viene detto che per calcolare l'area della spira è necessario porre k=1, quindi l'area della spira sarà 

A=2e - 2/e 

per calcolare il flusso del campo magnetico basta fare B*A

quindi il flusso sarà dato dalla funzione A*B(t)

per trovare la fem indotta è necessario fare la derivata di -A*B(t) quindi:

fem = -A*B'(t)      (è una semplice derivata del prodotto visto che B(t) dipende da un esponenziale e da un coseno)

per trovare la corrente indotta basterà dividere tutto per R:

i(t)= -A*B'(t)/R

 

La domanda teorica fa riferimento alla legge di Lenz, infatti per il principio di conservazione dell'energia si ottiene che:

a) se il flusso del campo magnetico aumenta, la corrente cercherà di opporsi generando un campo magnetico di verso opposto. 

b)se il flusso del campo magnetico diminuisce, la corrente cercherà di opporsi generando un campo magnetico concorde a quello esterno. 

Quindi il verso della corrente sarà orario/antiorario in base al campo magnetico esterno ed in base alla crescita/decrescita del suo flusso.






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