Dopo avere tracciato il grafico della funzione: $y=\sqrt{\frac{2-x}{x+2}}$
a. determina l'area della regione di piano limitata dal suo grafico, dall'asse $x$ e dal suo asintoto;
b. verifica che il volume del solido ottenuto da una rotazione completa intorno all'asse $x$ della regione di piano di cui al punto precedente è infinito.
(Suggerimento: per il calcolo dell'integrale può essere utile razionalizzare il numeratore.)
[a. $2 \pi]$
Spiegare gentilmente i ragionamenti, passaggi e argomentare.
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punti
Livello 2
$ f(x) = \sqrt{\frac{2-x}{x+2}} $
nota: Non ho sviluppato il calcolo dell'integrale, se intendi procedere ti potrà essere utile conoscere l'integrale indefinito.
$ \int f(x) \, dx = \sqrt{4-x^2} - 4 arctan(\sqrt{\frac{2-x}{x+2}}) + c $
b. Passando al volume V
$ V = \pi \int_{-2}^2 \frac{2-x}{x+2} \, dx $
dalla disequazione
$ \frac{2-x}{x+2} > \frac{1}{x+2} $ vera per x < 1 segue che
$ V ≥ \pi \int_{-2}^1 \frac{1}{x+2} \, dx + \pi \int_{1}^2 \frac{2-x}{x+2} \, dx$
Il primo integrale diverge quindi l'integrale che da il volume V è divergente.
21742
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Livello 6
