[Risolto] Integrale

Parabola

y - yV = a ( x - xV )^2

y + 3 = a (x + 1 )^2

- 2 + 3 = a (0 + 1)^2

a = 1

y = x^2 + 2x + 1 - 3

y = x^2 - 2x - 2

retta

y = x + q = x - 2

perché é inclinata a 45°

 

x^2 - 2x - 2 = x - 2

x^2 - 3x = 0

x = 0 e x = 3

S = S_[0,3] (x - 2 - x^2 + 2x + 2 ) dx =

= S_[0,3] (3x - x^2) dx =

= [ 3/2 x^2 - x^3/3 ]_[0,3] =

= 3*9/2 - 27/3 =

= 27/2 - 9 =

= (27 - 18)/2 = 9/2

La parabola Γ con: asse parallelo all'asse y, apertura a != 0, vertice V(1, - 3), ha equazione
* Γ ≡ y = a*(x - 1)^2 - 3
e l'apertura si determina dal vincolo d'appartenenza di A(0, - 2)
* - 2 = a*(0 - 1)^2 - 3 ≡ a = 1
da cui
* Γ ≡ y = (x - 1)^2 - 3
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Dall'equazione
* 1 = (x - 1)^2 - 3 ≡ (x = - 1) oppure (x = 3)
si trova
* che il disegno non è monometrico
* B(3, 1)
* r ≡ AB ≡ y = x - 2, con lo zero in C(2, 0),
e quindi che l'area S del segmento parabolico colorato è
* S = (|a|/6)*(xB - xA)^3 = (|1|/6)*(3 - 0)^3 = 9/2
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NOTA
Il tuo titolo "Integrale" mi perplime: il testo fotoaccluso non lo nomina affatto, da dove ti viene?
La tua domanda chiede soltanto "Come calcolare y=mx-2 e y=x^2-2x-2 ?", e te l'ho mostrato.
Al quesito b della foto si risponde con la solita equazione dell'area del segmento parabolico non retto.
In nessun punto dello svolgimento si presenta la necessità d'integrare checchessia.
Comunque, volendo ad ogni costo integrare qualcosa, si può procedere come segue.
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1) Definire come funzione integranda la lunghezza del segmento parallelo all'asse y e con estremi su r e Γ.
* f(x) = r - Γ = (x - 2) - ((x - 1)^2 - 3) = 3*x - x^2
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2) Calcolare le primitive dell'integranda e il suo integrale definito fra due estremi.
* F(x) = ∫ f(x)*dx = ∫ (3*x - x^2)*dx = (9 - 2*x)*x^2/6 + c
* I(f, a, b) = F(b) - F(a) =
((9 - 2*b)*b^2/6) - ((9 - 2*a)*a^2/6) = (2*(a^3 - b^3) - 9*(a^2 - b^2))/6
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3) Calcolare l'integrale definito fra xA e xB.
* I(f, 0, 3) = 9/2