geometria euclidea nello spazio

In un tronco di piramide regolare a basi quadrate, la somma dei perimetri delle basi è 64 m e la somma delle loro aree è 160 m^2. Il volume del solido è 416 m^3.Calcola l'area della superficie totale.

--------------------

x=spigolo di base inferiore

y= spigolo di base superiore

{4x+4y=64

{x^2+y^2=160

Risolvo ed ottengo: [x = 4 ∧ y = 12, x = 12 m ∧ y = 4 m]

(il sistema è simmetrico però deve essere x>y: quindi soluzioni in grassetto)

------------------------

Area base maggiore=x^2=12^2 = 144 m^2

Area base minore=y^2=4^2 = 16 m^2

Volume=1/3·(144·Η - 16·h) = 416 m^3

(visto come differenza di due piramidi)

Poi fai riferimento alla figura seguente:

Semplificando il volume e mettendolo a sistema con la proporzione fra le due altezze:

{9·Η - h = 78

{6/Η = 2/h (al numeratore r1 ed r2 che si conoscono)

risolvendolo si ottiene:

[h = 3m ∧ Η = 9 m]

Quindi H-h=6 m

Apotema laterale del troco di piramide=

=a = √((Η - h)^2 + (r1 - r2)^2)= √(6^2 + (6 - 2)^2)= 2·√13 m

A (laterale) = 4·1/2·(12 + 4)·2·√13 = 64·√13 m^2

Α (totale) = 160 + 64·√13 = 390.755 m^2

4(S+s) = 64

S = 16-s

S^2+s^2 = 160

(16-s)^2+s^2 = 160

s^2-16s+48 = 0

s = (16-8)/2 = 4 m

S = (16+8)/2 = 12 m 

12/h = 4/h'

h' = h*4/12 = h/3

h'/h  = 1/3 

Volume :

416*3 = (12^2*h-4^2*h') = h(144-16/3) = 416h/3

h = 416*3/(416h/3) = 9,000 m 

L = √9,00^2+6^2 = 3√13 m  

L' = L/3 = √13 m 

area laterale Al = 2*16*(L-L') = 32*2√13 m^2

area totale A = Al+area basi = 64√13+160 = 8(20+8√13) = 390,755 m^2