[Risolto] Integrale

$\int \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} dx$

si applica la sostituzione $x=sinht$ da cui si ricava $\frac{dx}{dt}=cosht$, ovvero $dx=dtcosht$

quindi l'integrale diventa:

$\int \frac{cosht}{(1+sinh^2t)^{3/2}} dt$

ricordandosi che vale $cosh^2t-sinh^2t=1$ l'integrale diventa:

$\int \frac{cosht}{(cosh^2t)^{3/2}} dt=\int \frac{cosht}{(cosht)^{3}} dt=\int \frac{1}{cosh^2t}dt$

l'ultimo integrale è immediato, la primitiva è $tanht$ quindi,

$\int \frac{1}{cosh^2t} dt=tanht+C$

e quindi in x:

$F(x)=tanh(settsinh(x))+C$