Integrale

a. Soluzione ODE omogenea associata. 

• Equazione differenziale. $ y'+y = 0$

Non è necessario passare per il polinomio caratteristico, è sufficiente chiederci quali sono le funzioni la cui derivata è l'opposto della funzione stessa

• Soluzione ODE omogenea associata. $ y(x) = c_1 e^{-x} $ 

b. Soluzione particolare.

Cerchiamo una soluzione della forma

$ \bar{y}(x) = Acos2x + Bsin2x $   da cui

$ \bar{y}'(x) = 2B cos2x - 2A sin2x $

Introducendole nell'ODE

$ (-2A +B) sin2x +(2B+A) cos2x = sin2x  $

che permette di formulare il sistema

$ \left\{\begin{aligned} -2A +B &= 1 \\ 2B+A &= 0 \end{aligned} \right. $

La cui soluzione è : $ A = -\frac{2}{5}; B = \frac{1}{5} $

una soluzione particolare è

$ \bar{y}(x) = -\frac{2}{5} cos2x + \frac{1}{5} sin2x $

c. Soluzione generale dell'ODE.

$ y(x) = c_1 e^{-x} -\frac{2}{5} cos2x + \frac{1}{5} sin2x $ 

d. Problema di Cauchy

• Derivata soluzione generale dell'ODE. $ y'(x) = -c_1 e^{-x} +\frac{4}{5} sin(2x) + \frac{2}{5} cos(2x) $

Determiniamo la costante c₁

-) $ -c_1+\frac{2}{5} = 0 \; ⇒ \; c_1 = \frac{2}{5} $

La soluzione del problema di Cauchy è così

$ y(x) = \frac{2}{5} e^{-x} -\frac{2}{5} cos2x + \frac{1}{5} sin2x $