FUNZIONI CRESCENTI E DECRESCENTI

A guidare la dimostrazione sarà la definizione di funzione crescente evidenziata in azzurro.

Cosa dice la definizione? Per ogni coppia di punti distinti appartenenti al Dominio, punti che chiameremo x₁, x₂, visto che ℝ è totalmente ordinato,  possiamo ipotizzare che  

• x₁ < x₂  (e se fosse x₁ > x₂? La dimostrazione non cambia è sufficiente cambiare nome ai punti)

Si vuole dimostrare che 

• f(x₁) < f(x₂) 

cioè più è grande la variabile x più sarà grande l'applicato f(x).

La dimostrazione si compone di una catena di passaggi.

• • Se x₁ < x₂ allora √x₁ < √x₂  (è dato per scontato che si sappia)
  • Se √x₁ < √x₂ allora 4√x₁ < 4√x₂ (questa è una proprietà delle disequazioni (4 è una costante positiva)
  • Se 4√x₁ < 4√x₂ allora 4√x₁ - 1 < 4√x₂ -1 (altra proprietà delle disequazioni)
  • Se 4√x₁ - 1 < 4√x₂ -1 allora f(x₁) < f(x₂) che è ciò che si voleva dimostrare.

La dimostrazione si basa sulla conoscenza delle proprietà delle disequazioni e sulla conoscenza dell'ordinamento dei radicali.

Non capisco come questa spiegazione dovrebbe dimostrare che una funzione è crescente.Sapreste spiegarmela passo per passo?

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Vale la def  di f(x) crescente a destra , evidenziata in blè.

Con x ≥ 0 --->  questo è D cioè il dominio della funzione f(x) 

per ogni x1 e x2  di D ...

se x1<x2 certamente (proprietà delle radici) sqrt(x1) < sqrt(x2) 

se sqrtx1 < sqrtx2 certamente la moltiplicazione per 4>0  di ambo i membri non cambia il verso della disequazione:      4sqrt(x1) < 4sqrt(x2)

poi se...                            4sqrt(x1) < 4sqrt(x2)

allora sottraendo 1 ad ambo i membri non  cambia il verso della disequazione

                          4sqrt(x1) - 1 < 4sqrt(x2) -1

  cioè

                       4sqrt(x1) - 1  = f(x1) < f(x2) = 4sqrt(x2) -1  

che è quanto si voleva far vedere.