Inf,sup, monotonia e segno di una successione

Problema:

Si studi la monotonia e il segno della successione. Si individui inoltre l'estremo superiore e l'estremo inferiore.

$a_n=\log (\frac{n}{n^2+1})$

Soluzione:

Per studiare la monotonia della successione si suppone che essa sia crescente o decrescente, se si ottiene un assurdo, essa è decrescente o crescente.

Si suppone che sia crescente.

$a_n < a_{n+1}$

$\log (\frac{n}{n^2+1}) < \log \frac{n+1}{(n+1)^2+1}$

$n((n+1)^2+1)<(n+1)(n^2+1)$

$n^3+2n^2+2n<n^3+n^2+n+1$

$n^2+n<1$

Ciò è un assurdo dato che $n>0$ è un numero naturale ($1+1=2>1$).

La successione è dunque decrescente per $n \geq 1$.

Il segno di $a_n$ è individuabile tramite il punto di partenza della successione e la monotonia di essa.

$a_1=-\log 2<0$

$\lim_{n \to \infty} a_n =-\infty$

Poiché la successione è monotona decrescente, essa è sempre minore o uguale a $-\log 2$, dunque è sempre negativa.

Dalla monotonia è anche possibile individuare gli estremi: l'estremo superiore è il punto più alto che assume la successione, ossia $\sup a_n = -\log 2$, mentre l'estremo inferiore è $\inf a_n = - \infty$.