[Risolto] In un trapezio gli angoli acuti misurano 30

Sia $ABCD$ il trapezio, con $AB$ e $CD$ come basi e $AD$ e $BC$ i lati obliqui. Consideriamo la proiezione dei lati obliqui sulle basi sfruttando le proprietà trigonometriche dei triangoli rettangoli, tracciando le altezze $AP$ e $BQ\,$. Allora

\[PD = h\cot{(30°)} = h\sqrt{3} \qquad QC = h\cot{(60°)} = \frac{h}{\sqrt{3}}\,.\]

La lunghezza della base maggiore allora risulta

\[B = b + PD + QC = 2h + h\sqrt{3} + \frac{h}{\sqrt{3}} = 2h + \frac{4h\sqrt{3}}{3}\,.\]

Imponendo la condizione sul perimetro

\[B + b + 2l = 12 + 12\sqrt{3} \implies 2h + 2h + \frac{4h\sqrt{3}}{3} + 2l = 12 + 12\sqrt{3} \implies\]

\[4h\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}\right) = 12 + 12\sqrt{3} \iff\]

\[4h(3 + \sqrt{3}) = 36 + 36\sqrt{3} \iff h = \frac{9 + 9\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \implies\]

\[b = 2h = 6\sqrt{3} \qquad B = b + PD + QC = 9\sqrt{3} + 3\,.\]

Il lato obliquo è calcolabile come

\[2l = 12 + 12\sqrt{3} - b - B = 9 \iff l = \frac{9}{2}\,.\]

altezza = h

l1 = 2h

p1 = h√3

b = 2h

p2 = h/√3 

l2 = 2h/√3 

2p = 12(1+√3) = l1+l2+2b+p1+p2  

2p = 6h+h√3+3h/√3 = 12(1+√3)

2p = 6h√3+3h+3h = 12√3 + 36

h(√3+1) = 2√3+6

h = (2√3+6)(√3-1)/(3-1)

h = (6+6√3-2√3-6)/2 = 4√3 /2 = 2√3

l1 = 2h = 4√3

l2 = 2√3*2/√3 = 4