[Risolto] IL MOMENTO ANGOLARE

Immagina di sezionare il cilindro con due piani paralleli tra loro, infinitamente vicini e perpendicolari all’asse del cilindro, i questo modo si ottiene una corona circolare composta da infinite corone circolari coassiali di spessore infinitesimo $dx$. La somma dei momenti d'inerzia delle singole corone circolari impilate lungo l'altezza $h$ del cilindro danno come risultato il momento d'inerzia totale del cilindro.

Un elemento infinitesimo di massa $dm$ vale $2 \pi x \cdot dx \cdot h \cdot \rho$

$dI \,=\, dm \cdot x^{2} \,=\, 2 \pi x^{3} \cdot dx \cdot h \cdot \rho$

$I \,=\, {\displaystyle \int_{r}^{R}{ 2 \pi x^{3}\cdot h \cdot \rho \cdot dx}}$

$=\, \dfrac{1}{2}\pi \cdot h \cdot \rho \cdot \Bigl( R^{4} - r^{4} \Bigr)$

Riscrivo la relazione come:

$=\, \dfrac{1}{2}\pi \cdot h \cdot \rho \cdot \Bigl( R^{2} - r^{2} \Bigr) \cdot \Bigl( R^{2} + r^{2} \Bigr)$

Si può notare che adesso posso ricavare il volume del cilindro, infatti conosco l'area di una corona circolare di altezza infinitesima che compone il cilindro e anche l'altezza $h$, quindi:

$V \,=\,\pi \Bigl( R^{2} - r^{2} \Bigr) \cdot h$

Sostituendo il volume nell'equazione di prima e moltiplicandolo per la densità $\rho$ ottengo la massa totale, quindi:

$I \,=\, \dfrac{1}{2} \cdot V \cdot \rho \cdot \Bigl( R^{2} + r^{2} \Bigr)$

$I \,=\, \dfrac{1}{2} \cdot m \Bigl( R^{2} + r^{2} \Bigr)$

Allo stesso risultato si perviene utilizzando la formula :

I = M/2*(R^2-r^4) 

ove M è la massa del cilindro pieno 

esempio 

M = 1000 kg 

R = 1 ,00 m

r = 0,5 m

m = M*(1-0,5^2) = 750 kg

I = M/2(1^2-0,5^4) = 500*0,9375 = 468,75 kg*m^2

I = 750/2(1+0,5^2) = 375*1,25 = 468,75 kg*m^2