I teoremi di Euclide e di Pitagora

(il disegno non è in scala)

Non serve usare i teoremi di Euclide.

Nota che, essendo $\overline{AH}$ l'altezza relativa a $\overline{BC}$ allora $\overline{AH} \perp \overline{BC}$ per definizione, quindi $AHB$ è un triangolo rettangolo. L'area di $AHB$ può essere espressa come: $\frac{1}{2}\overline{AH} \cdot \overline{BH}=\frac{1}{2} \overline{HK} \cdot \overline{AB}$, perché è lo stesso triangolo, quindi non importa quale base e altezza relativa scegliamo. Troviamo $\overline{BH}$ con il teorema di Pitagora:

$\overline{BH} = \sqrt{\overline{AB}^2-\overline{AH}^2}=\sqrt{(40cm^2)-(24cm)^2}=\sqrt{1024cm^2}=32cm$.

Adesso abbiamo che

$24cm \cdot 32 cm = 40cm \cdot \overline{HK}$

$\overline{HK} = \frac{24cm \cdot 32cm}{40cm}=19.2cm$.

Allora con il teorema di Pitagora di nuovo:

$\overline{BK} = \sqrt{\overline{BH}^2-\overline{HK}^2}=\sqrt{(32cm)^2-(19.2cm)^2}=\sqrt{655.36cm^2}=25.6cm$.

Quindi l'area di $BHK$ è semplicemente:

$A=\frac{1}{2} \overline{HK} \cdot \overline{BK} = \frac{1}{2} 19.2cm \cdot 25.6cm = 245.76cm^2$.

Calcolare l'area del triangolo BHK.

Troviamo HB con Pitagora nel triangolo AHB;

HB = radicequadrata(40^2 - 24^2) = radice(1600 - 576);

HB = radice(1024) = 32 cm;

Troviamo KB, (proiezione del cateto HB sull'ipotenusa AB), con il primo teorema di Euclide:

40 : 32 = 32 : KB ; 

KB = 32^2 / 40 = 25,6 cm; (base del triangolo rettangolo BHK);

HK è l'altezza da trovare:

HK = radicequadrata(32^2 - 25,6^2);

HK = radice(368,64) = 19,2 cm; (altezza);

Area = KB * HK / 2;

Area = 25,6 * 19,2 / 2 = 245,76 cm^2.

@alakamalaka   ciao.

ABC è un triangolo isoscele. La base AB è lunga 40 cm e l’altezza AH relativa al lato BC è lunga 24 cm.

K è la proiezione di H su AB. Quanto vale l’area del triangolo BHK (in rosso)?

BH = √AB^2-AH^2 = 8√5^2-3^2 = 8*4 = 32 cm 

i triangolo ABH e BHK sono simili (angolo B in comune ed un angolo retto) pertanto k = 32/40 = 4/5.

HK = 32*24/40 = 24*4/5 = 96/5 = 192/10 = 19,2 cm 

BK = 32*4/5 = 25,6 cm 

area BHK = BK*HK/2 = 25,6*9,6 = 245,76 cm^2