Scomposizione di un Polinomio di grado superiore al Secondo , le cui radici Reali non sono razionali

Da quanto ne so non credo sia possibile una fattorizzazione senza l'individuazione delle radici reali e complesse (corollario del teorema fondamentale dell'algebra). 

Ad ogni modo, essendo l'equazione di quarto grado, esiste una formula risolutiva per individuare le soluzioni dell'equazione associata: https://it.m.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_quarto_grado

Oltre il quarto grado per la teoria di Galois non esistono formule risolutive.

Se vuoi approfondire ciò ti consiglio di vedere questo video divulgativo in inglese:  

Con "vedere" intendo anche capire, quindi probabilmente dovrai rimanere su ciò più della durata del video in sé. Questo video non è esaustivo, ma offre una buona idea generale e permette di allargare i propri orizzonti matematici costrigendo a ragionare in modo diverso e più astratto rispetto al classico approccio delle superiori. 

Se le radici non sono razionali la regola di Ruffini non funziona neppure in forma estesa. Poiché la formula per l' equazione di quarto grado è laboriosa, se ti occorrono le radici conviene ricorrere ad un metodo grafico numerico come più o meno hai fatto.

Essendo P(0)=-9 per il teorema degli zeri esistono sicuramente due radici reali una negativa e una positiva.

più precisamente, vai su Octave online e imposti

format long;

p = [ 1 0 -1 -1 -9 ]

z = roots(p) 

usciranno due radici reali e due complesse che ti permetteranno di effettuare la scomposizione come 

(x - x1) (x - x2) (x^2 - S34 x + P34) 

e in termini approssimati a sei decimali 

(x + 1.797214)( x - 1.961732) (x^2 + 0.164518 x + 2.552719)