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 Un cilindro di legno galleggia in acqua salata ρ1=1006,7 kg/𝑚3, e l’altezza della parte emersa è
h1=6 cm. Lo stesso cilindro immerso in olio ρ2=808,1 kg/𝑚3 emerge per in altezza h2=2,8 cm.
Calcolare la densità del legno.

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F Archimede = F peso.

V immerso in acqua = (Area base)* (h - 6 cm);

V immersi in olio = (Area base) * (h - 2,8 cm);

V totale = Area base * h

(d acqua) * V immerso * g = (d legno) * V totale * g;

(d olio) * V immerso * g = (d legno) * V totale * g;   [g si semplifica].

1006,7 * (Area base)* (h - 6 cm) = (d legno) * Area base * h; [Area base si semplifica].

808,1* (Area base)* (h - 2,8 cm) = (d legno) * Area base * h; 

restano due equazioni con incognite h e densità legno:

1006,7 * (h - 6 cm) = (d legno) * h;

808,1 * (h - 2,8 cm) = (d legno) * h;

1006,7 * (h - 0,06 metri) = 808,1 * (h - 0,028 metri);

1006,7 * h - 808,1 * h = 60,402 - 22,627;

198,6 * h = 37,775;

h = 37,775 / 198,6 = 0,19 m = 19 cm; (altezza totale).

d legno = 1006,7 * (h - 6 cm) / h;

d legno = 1006,7 * (19 - 6 cm) / 19 ;

d legno = 1006,7 * 13 / 19 = 689 kg/m^3



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@gianniiiii90

Ciao.

Volume del cilindro di legno: V = A*h con ovvio significato dei simboli  ;

ρ  e h

densità e altezza cilindro in legno

Messo in acqua salata:

 ρ1=1006,7 kg/m^3

Acqua spostata = A*(h-6*10^(-2)) ; h=altezza del cilindro in m

Equilibrio delle forze in acqua salata:

Peso legno + Spinta di Archimede=0 (forze uguali ed opposte)

ρ·g·A·h - ρ1·g·A·(h - 6) = 0 diviso g=9.81 m/s^2 A= costante =base cilindro

ρ·h - ρ1·(h - 6) = 0

Inserendo i numeri:

ρ·h -1006.7 ·(h - 6*10^(-2)) = 0

Analogamente, messo in olio:

in olio ρ2=808,1 kg/m^3

Olio spostato =A*(h-2.8*10^(-2))

ρ·h -808.1 ·(h - 2.8*10^(-2)) = 0

Mettiamo quindi a sistema le 2 situazioni:

{ρ·h -1006.7 ·(h - 6*10^(-2)) = 0

{ρ·h -808.1 ·(h - 2.8*10^(-2)) = 0

risolviamo ed otteniamo:[h = 0.1902074521 m ∧ ρ = 689.1414642 kg/m^3]

 

 

 

 



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Un cilindro di legno galleggia in acqua salata ρa = 1.006,7 kg/𝑚3, e l’altezza della parte emersa è
h1 = 6 cm. Lo stesso cilindro immerso in olio ρo = 808,1 kg/𝑚3 emerge per in altezza h2=2,8 cm.
Calcolare la densità del legno ρl

A*(h-6)*ρa = A*((h-2,8)*ρo

l'area di base A si semplifica 

(h-6)*1006,7 = (h-2,8)*808,1

h(1006,6-808,1) = 1006,6*6-2,8*808,1

h = (1006,6*6-2,8*808,1)/(1006,6-808,1) = 19,0 cm

ρl*19 = ρa*(19-6)

ρl = 1006,7*13/19 = 689 kg/m^3

 



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RIPASSO
------------------------------
Con
* dS = densità del solido
* dF = densità del fluido
* dr = dS/dF = densità relativa fra di esse
* V = Vi + Ve = il volume del solido e del fluido spostato
* Vi = il volume della sua frazione immersa
* Ve = il volume della sua frazione emergente
* pS, pF i relativi pesi
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2 (valore SI dell'accelerazione di gravità)
---------------
1) Da p = g*d*V, si ricava il peso apparente per effetto della spinta di Archimede
* pA = pS - pF = g*V*(dS - dF)
---------------
2) Si ha
* galleggiamento per dr < 1
* equilibrio indifferente per dr = 1
* affondamento per dr > 1
---------------
3) Se dr < 1, il principio di Archimede dice che, all'equilibrio,
* dL*Vi = dS*V (la spinta idrostatica sostiene tutto il peso)
da cui
* la frazione di volume immersa: Vi = dr*V;
* la frazione di volume emergente: Ve = V - Vi = (1 - dr)*V
cioè
* Ve/V = (1 - dr) > 0
==============================
NEL CASO IN ESAME
------------------------------
Il cilindro, di densità dS = x kg/m^3, sia alto in tutto "h cm" e sia immmerso con l'asse di simmetria verticale; in tale ipotesi il rapporto fra i volumi eguaglia quello fra le altezze
* Ve/V = he/h = (1 - x/dF) > 0
---------------
Faccio tutti i calcoli intermedii con le frazioni e torno ai decimali alla fine.
* ρ1 = 1006,7 = 10067/10 kg/m^3
* h1 = 6 cm = 3/50 m
* ρ2 = 808,1 = 8081/10 kg/m^3
* h2 = 2,8 cm = 7/250 m
---------------
Le due misure danno le relazioni
* Ve/V = (3/50)/h = (1 - x/(10067/10))
* Ve/V = (7/250)/h = (1 - x/(8081/10))
cioè
* ((3/50)/h = (1 - x/(10067/10))) & ((7/250)/h = (1 - x/(8081/10))) ≡
≡ (h = 47219/248250 m ~= 19 cm) & (x = 162702854/236095 ~= 689.141 kg/m^3)



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