Codominio di una funzione

Ciao cara

Ti posso chiamare così? Ormai ci siamo affezionati alla tua presenza.

Veniamo a noi. Quando ci sono delle funzioni irrazionali in gioco come questa di indice 2, si può procedere risolvendo questa rispetto a x e poi osservando cosa succede.

Dunque abbiamo: x^2-9=y^2+6y+9

Quindi ottieni:

x^2 - y^2 - 6·y - 18 = 0 

Continuo su computer . Ci vediamo fra un po' perché mi vene male usare il cellulare.

Riprendo.

Completo il quadrato relativamente alla y:

x^2 - y^2 - 6·y - 9 + 9 - 18 = 0

x^2 - (y^2 + 6·y + 9) + 9 - 18 = 0

x^2 - (y + 3)^2 = 9

divido per 9--------> x^2/9 - (y + 3)^2/9 = 1

Iperbole equilatera: a^2=9; b^2 =9 traslata con centro C(0,-3). Asintoti y=-3+x ed y=-3-x

Però abbiamo fatto un'operazione non proprio lecita perché abbiamo elevato al quadrato!

Abbiamo ottenuto quindi 2 rami di una stessa iperbole:

y = - √(x^2 - 9) - 3 ∨ y = √(x^2 - 9) - 3

di cui il secondo rappresenta la funzione di partenza. L'iperbole, nel suo complesso è disegnabile in:

x^2-9>=0---->C.E. x ≤ -3 ∨ x ≥ 3 C.E. della funzione disegnata in verde.

Siccome dobbiamo considerare l'insieme delle immagini della funzione data ed la radice non può essere negativa ( radice quadrata nulla per x=3 oppure per x=-3) deve essere  dobbiamo prendere y ≥ -3

 

 

 

 

 

ERRATA

DOMINIO   

 

(x^2-9) -3 ≥ 0   --->    x^2 -3^2 -3 = x^2 -3(3+1) = x^2 -12 ≥ 0 

quindi x^2≥ 12  --->  delta positivo,. soluzioni ESTERNE --->  x ≤ -radq12 =2*radq3      UNIONE   x ≥ radq12 = 2*radq3

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E2-9%29+-3+%3E+0

 

CORRIGE

DOMINIO1 {domain} {GUARDANDO ORA IL TUO FOGLIO SCRITTO VEDO CHE SOTTO RADICE C'E' SOLO  (x^2-9) quindi cambia tutto  }

(x^2-9) ≥ 0   --->    x^2  ≥ 9    ---> x ≤ -3      UNIONE    x ≥ 3

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E2-9%29+%E2%89%A5+0%C2%A0

 

CODOMINIO1

per x ≤ -3    y  va da -3 a +oo,

per x ≥ 3    y  va da -3 a +oo,

 

quindi il codominio1 {range}, come previsto dal risultato da te riportato, è

 

     [-3,+oo)    <---    OK! OK!

 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+sqrt%28x%5E2-9%29+-3

 

p.s.

vale poi per l'altro percorso ...

 

QUANTO OSSERVATO  da  LucianoP

... e da CMC

LE TUE QUADRATURE SONO, COME AL SOLITO, UNA SCELTA DI GRATUITA COMPLICAZIONE.
------------------------------
La funzione della variabile reale x
* y = √(x^2 - 9) - 3
ha
* dominio: l'intero asse reale x
* codominio: l'intero piano di Argand-Gauss
* insieme di definizione: coincide col dominio
* insieme di definizione reale: x^2 >= 9 ≡ (x <= - 3) oppure (x >= 3)
* insieme immagine: coincide col codominio
* insieme immagine reale: y >= - 3
INFATTI
A) Per
* - 3 < x < 3
la funzione ha valori complessi
* y = - 3 + i*√(9 - x^2)
B) Per
* (x = - 3) oppure (x = 3)
la funzione ha il suo minimo valore
* y = √((± 3)^2 - 9) - 3 = - 3
C) Per
* (x <= - 3) oppure (x >= 3)
la funzione ha valori reali
* y = - 3 + √(x^2 - 9) > - 3
maggiori di meno tre perché il radicale, avendo radicando positivo, ha valori reali positivi.

1. Dominio.

La funzione è definita per x≤-3 V x≥3.

Dominio=(-oo,-3] V [3,+oo)

Inoltre la funzione risulta continua in tutto il dominio essendo composizione e somma di funzioni elementari continue.

 

2. Simmetria

La funzione è pari, infatti f(-x)=√((-x)²-9)-3=√(x²-9)-3=f(x)

La funzione è simmetrica rispetto all'asse delle y. Nella determinazione dell'immagine è sufficiente considerare l'intervallo [3,+oo).

 

3. Codominio 

Osserviamo che, nell'intervallo [3,+oo):

i) La funzione assume il valore minimo per x=3 dove l'addendo √(x²-9) è nullo.

ii) la funzione non è limitata superiormente, infatti lim(x→+oo)f(x) = +oo

Questo non è sufficiente per affermare che il codominio sia l'intervallo [-3,+oo) potrebbero esistere punti interni che non appartengono all'immagine.

E' necessario ricorrere al teorema dei punti intermedi il quale richiede che la funzione sia continua; proprietà dichiarata al punto 1. Dominio.