In un parallelepipedo rettangolo, la diagonale di base forma con i lati angoli di $30^{\circ}$ e $60^{\circ}$. Sapendo che l'altezza del solido è metà della diagonale di base e che l'area della superficie laterale è $32(1+\sqrt{3}) \mathrm{cm}^2$, determina il volume del parallelepipedo.
$$
\left[64 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^3\right]
$$
9
punti
Livello 0
DATI
h = d/2 (altezza del parallelepipedo)
AL = 32( 1+ √3) cm2 (Area Laterale del parallelepipedo)
V = ? (Volume del parallelepipedo)
Svolgimento
AL = P * h = 2*( a + b) * h
Dato che la diagonale di base forma con i lati gli angoli 30° e 60°, si tratta di un triangolo rettangolo 90° 60° 30°, dove la diagonale rappresenta l'ipotenusa del triangolo rettangolo, determiniamo:
a = d * √(3) / 2
b = d/2
Dalla formula dell'area ci ricaviamo la diagonale:
AL = 2*( a + b)*h
32 * (1 + √3) = 2(d*√3/2 + d/2) * d/2
32*(1+√3) = d^2*[(√3+1)/2]
adesso moltiplichiamo ambo i membri per 2 e dividiamo ambo i membri per (1+√3)
d^2 =64 ---> d = √64 = 8 cm
Conoscendo la diagonale ricaviamo le dimensione del rettangolo di base:
a = d*(√3/2) = 8*(√3/2) = 4*√3 cm
b = d/2 =8/2 = 4 cm
h =d/2 = 4 cm
V = a*b*h = 4*√3 * 4* 4 = 64 *√3 cm3
4872
punti
Livello 6
