[Risolto] Trovare equazioni parabole

a. Parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle y. In questo caso l'equazione canonica a cui fare riferimento è y=ax²+bx+c

Dalla figura osserviamo che le coordinate del vertice sono V(2,0) e la parabola passa per il punto P(0,1). le tre costanti si ottengono risolvendo il sistema

{xV = -b/2a = 2 ⇒ b=-4a

{yV = (b²-4ac)/4a = 0 ⇒ b² = 4ac

{1 = c

la cui unica soluzione è a=1/4 & b=-1 & c=1 a cui corrisponde la parabola

y=x²/4-x+1 

b. Parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle y. L'equazione canonica a cui fare riferimento è y=ax²+bx+c. Inoltre, la parabola passa per tre punti O(0,0), P(4,0), Q(3,3). Costruiamo il sistema la cui soluzione è il valore da attribuire alle costanti a,b,c per avere l'equazione della nostra parabola.

{0 = c ← passa per O(0,0)

{0 = 16a+4b ← passa per P(4,0) 

{3 = 9a+3b+c ← passa per Q(3,3)

la cui unica soluzione è a=-1 & b=4 & c=0 a cui corrisponde la parabola

y=-x²+4x 

c. Parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle y quindi y=ax²+bx+c.

La parabola ha asse di simmetria di equazione x=3 e passa per i punti P(0,2) e Q(-1,0).

Impostiamo il sistema.

{xV = -b/2a = 3 ⇒ b=-6a ← asse di simmetria x=3

{0 = a-b+c ← passa per Q(-1,0) 

{2 = c ← passa per P(0,2)

la cui unica soluzione è a=-2/7 & b=12/7 & c=2 a cui corrisponde la parabola

y=-2x²/7+12x/7+2 

Le 3 parabole sono ad asse verticale e quindi hanno la struttura seguente:

y = a·x^2 + b·x + c

1^ parabola

Essendo tangente all'asse delle x in x=2 presenta la seguente struttura:

y = a·(x - 2)^2   l'intersezione con asse delle y è nel punto Q(0,1) quindi passa per tale punto:

1 = a·(0 - 2)^2-----> a = 1/4----->y = 1/4·(x - 2)^2-----> y = x^2/4 - x + 1

2^ parabola

Siccome passa per l'origine e per il punto (4,0) presenta la seguente sruttura:

y = a·x·(x - 4) ha la concavità verso il basso e quindi deve essere a<0 vediamo di verificarlo imponendo il passaggio per (3,3):

3 = a·3·(3 - 4)------>3 = - 3·a----> a = -1

Quindi: y = (-1)·x·(x - 4)-----> y = 4·x - x^2

3^ parabola

sfruttando la simmetria, asse x=3, l'altra intersezione oltre a P1(-1,0) deve essere P2(7,0) in quanto x=3 deve essere media delle due ascisse! (cioè P2 dista dall'asse come P1)

Pertanto la parabola ha struttura:

y = a·(x + 1)·(x - 7) ( con a<0 perché presenta concavità verso il basso), passa per Q(0,2):

2 = a·(0 + 1)·(0 - 7)----> 2 = - 7·a----> a = - 2/7--->  y = (- 2/7)·(x + 1)·(x - 7)

y = - 2·x^2/7 + 12·x/7 + 2