Nel parallelogramma $A B C D$ considera le perpendicolari alla diagonale $A C$ passanti per i vertici opposti $B$ e $D$, e indica rispettivamente con $P$ e $Q$ i punti di intersezione di tali perpendicolari con $A C$. Dimostra che:
a. $A Q \cong P C$;
b. la diagonale $B D$ interseca il segmento $P Q$ nel suo punto medio.
11
punti
Livello 0
Cominciamo con a) AQ = PC
I triangoli AQB e DPC presentano
i) un angolo retto ciascuno (AQB^ = DPC^ = P^/2 per costruzione )
ii) AB = DC perché lati opposti di un parallelogramma per ipotesi
iii) QAB^ = DCP^ = alfa perché alterni interni formati dalle parallele ( per ipotesi ) AB e DC
tagliate dalla trasversale AC
e sono quindi congruenti per il III Criterio ridotto dei triangoli rettangoli e AQ = PC perché lati omologhi
( opposti a beta = complementare di alfa )
b) Consideriamo ora i triangoli DPH e HQB : in essi si riscontra che
i) DPH^ = HQB^ = P^/2 per costruzione;
ii) DP = QB (lati omologhi in triangoli congruenti per dimostrazione precedente, punto a )
iii) DH = HB per proprietà del parallelogramma sulle diagonali
e sono allora congruenti per il IV Criterio dei triangoli rettangoli
Concludiamo allora che PH = HQ in quanto lati omologhi : risultano opposti ad angoli
acuti che sono complementari di angoli congruenti perché opposti al vertice.
58340
punti
Livello 7
