Dal vertice $C$ del triangolo isoscele $A B C$ conduci la retta $r$ parallela alla base. Dal punto medio $M$ della base $A B$ conduci le due rette passanti per i punti medi dei lati obliqui $B C$ e $A C$, che intersecano $r$ rispettivamente nei punti $P$ e Q. Dimostra che il quadrilatero $A B P Q$ è un rettangolo.
(Suggerimento. Considera i triangoli $A B C$ e $M P Q .)$
11
punti
Livello 0
Il problema é semplice se hai studiato bene gli argomenti.
Tracciando la figura, chiami R e S i punti medi di AC e BC.
Osservi che AB//PQ per costruzione
MS = 1/2 AC = 1/2 BC = SB
per il corollario sui triangoli del teorema del fascio di parallele.
Questo comporta che nel triangolo MQB la mediana SB relativa a un lato (MQ) é congruente
a metà di quel lato : allora per un noto teorema inverso, facilmente dimostrabile con l'uso di
relazioni tra gli angoli, MQB é rettangolo in B => B^ = P^/2.
Analogamente, MR = 1/2 BC = 1/2 AC = AR e con ragionamento identico a parte il cambio
dei nomi, PAM é rettangolo in A e PAM^ = P^/2.
La tesi é provata osservando che : PAM^ = QBM^ = P^/2 => AP e QB sono entrambe
perpendicolari ad AB => sono parallele => ABPQ é un parallelogramma.
La presenza di un angolo retto (A^, oppure B^) ne fa un rettangolo.
58340
punti
Livello 7
nice job
si dimostra facilmente che :
i triangoli CP'P e BP'M sono uguali (P' è l'intersezione della retta mandata da M con BC)
i triangoli CQ'Q e AQ'M sono uguali (Q' è l'intersezione della retta mandata da M con AC)
AM = CQ ; BM = CP
BP _l_ PQ
AQ _l_ PQ
ABPQ è un rettangolo
142419
punti
Genius III
