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si applica il teorema dei seni :

sen α / BC = sen Θ / AB

sen Θ = sen α*AB/BC = 0,5*9/7 = 9/14

angolo Θ = arcsen (9/14) = 40,0°

angolo β = 180-(40+30) = 110°

sen α / BC = sen β / AC

AC = BC*sen β /sen α = 7*0,940/0,5 = 14*0,94 = 13,2 m

semiperimetro p = (9+7+13,2)/2 = 14,6 m

si applica "Erone" : 

area A = √14,6*(14,6-13,2*(14,6-9)*(14,6-7) = 29,5 m^2

 

Se A' = 20 m^2 , ferme restando AB e BC, quanto vale AC' ?

chamata x la metà di AC' , riapplico "Erone"

20^2 = (8+x)(8+x-9)*(8+x-7)*(8+x-2x)

20^2= (8+x)*(8-x)*(x-1)*(x+1)

20^2 = (64-x^2)*(x^2-1)

400 = 65x^2-x^4-64

x^4-65x^2+464 = 0

risolvendo per x si trova 2,858 ed AC' = 5,716

verifica :

semiperimetro p' = 8+2,858 = 10,858

A'^2 = 10,858*(10,858-9)*(10,858-7)*(10,858-5,716) = 400

applico il teorema di F. Viete (aka del coseno)

5,716 ^2 = 9^2+7^2-2*7*9*cos β' 

126*cos β' = 81+49-32,7

cos β' = (81+49-32,7)/126 = 0,772

β' = arccos 0,772 = 39,45° 

 

 

 

 

DATI:

AB = c = 9m

BC = a = 7m

α = 30°

INCOGNITE:

Domanda A) γ e β rispettivamente in C ed in B

Domanda B) area terrazzo A

Domanda  C) angolo modificato β per avere A= 20m^2

Teorema dei seni

a/SIN(α) = b/SIN(β) = c/SIN(γ)

Quindi:

SIN(γ) = c·SIN(α)/a-----> SIN(γ) = 9·SIN(30°)/7 = 9/14------>γ = 40.005°

  β = 180 - (30 + 40.00520088)                                                   β = 109.995°

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AC = b = a·SIN(β)/SIN(α) = 7·SIN(109.995°)/(1/2) = 13.156m

H= altezza relativa alla base AC=b--------->H = c/2 = 4.5 m

A=area terrazzo=1/2·13.156·4.5 = 29.601 m^2

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A = 1/2·a·c·SIN(β)-----------> SIN(β) = 2*20/(7*9)

 SIN(β°) = 40/63------------>β = 39.414°

MI SCUSO PER IL RITARDO, SONO STATO NOVE GIORNI COL COMPUTER FUORI USO.
Anche se la domanda è chiusa può darsi che questo approccio possa servirti in futuro.
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UNITA' DI MISURA: lunghezza, m; superficie, m^2.
NOMI: {α, β, γ} sono gli angoli interni ai vertici {A, B, C} e {a, b, c} sono i lati opposti.
VALORI DATI: |AB| = c = 9; |BC| = a = 7; α = 30° = π/6.
VALORI RICHIESTI: le ampiezze {β, γ}; l'area S di ABC; l'ampiezza γ che rende S = 20 (variando b, β).
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Tutt'e tre i problemi posti dai tre quesiti si risolvono rammentando due sole nozioni generali.
1) L'area S di un triangolo è metà del modulo del prodotto vettoriale di due lati noti:
* S(β) = (a*c/2)*sin(β)
nel caso in esame
* S(β) = (63/2)*sin(β)
2) Le procedure di risoluzione dei triangoli qualsiasi di cui siano noti due lati e un angolo; per il quesito a i lati (a, c) e l'angolo α dato; per il quesito c i lati (a, c) e l'angolo β ricavato da 20 = (63/2)*sin(β).
Vedi al link
http://it.wikipedia.org/wiki/Trigonometria#Risoluzione_dei_triangoli_qualsiasi
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IL problema posto dal QUESITO "a" si risolve applicando
Teorema dei seni: a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ)
Somma degli angoli interni: α + β + γ = π = 180°
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* a/sin(α) = c/sin(γ) ≡ sin(γ) = (c/a)*sin(α) = (9/7)*sin(π/6) = 9/14
* γ = arcsin(9/14) ~= (2/9)*π = 40°
* β = π - (α + γ) = π - (π/6 + arcsin(9/14)) = (5/6)*π - arcsin(9/14) ~= (11/18)*π = 110°
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IL problema posto dal QUESITO "b" si risolve rammentando che l'area S del triangolo è metà del modulo del prodotto vettoriale dei due lati noti:
* S(β) = (a*c/2)*sin(β) = (63/2)*sin(β)
Formula di sottrazione del seno: sin(u - v) = sin(u)*cos(v) - cos(u)*sin(v)
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* S((5/6)*π - arcsin(9/14)) = (63/2)*sin((5/6)*π - arcsin(9/14)) = (9/8)*(9*√3 + √115) ~= 29.601295 ~= 29.6
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IL problema posto dal QUESITO "c" si risolve banalmente con un'equazione di primo grado e un arcoseno.
* S(β) = (63/2)*sin(β) = 20 ≡ sin(β) = 40/63
* β = arcsin(40/63) ~= 0.6879 ~= 39° 24' 50.75''