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x^2 + y^2 - 8·x - 6·y + 17 = 0 equazione implicita

C(4,3)

r = √(α^2 + β^2 - c) --------> r = √(4^2 + 3^2 - 17)----->r = 2·√2

Intersecando la circonferenza con la retta y=1 si ottiene:

x^2 + 1^2 - 8·x - 6·1 + 17 = 0

x^2 - 8·x + 12 = 0

(x - 2)·(x - 6) = 0-------> A(2,1) e B(6,1)

AB=6-2=4

h=|yc-1|=3-1=2

Area=1/2*AB*h=1/2*4*2 = 4

Metti in sistema l'equazione della circonferenza e l'equazione della retta. Trovi così le coordinate di A e B. trovate tali coordinate, applicando la formula della distanza tra due punti, trovi il segmento AB.

Avendo l'equazione della circonferenza trovi le coordinate del centro. una volta trovate le coordinate del centro vedi che la distanza di C dalla retta è data dalla ordinata del centro meno 1 (valore dell'ordinata dei punti della retta); tale ordinata è l'altezza del triangolo.

Avendo la base AB e l'altezza puoi calcolare l'area del triangolo

Il sistema
* (y = 1) & (x^2 + y^2 - 8*x - 6*y + 17 = 0)
ha risolvente
* x^2 + 1^2 - 8*x - 6*1 + 17 = 0 ≡
≡ x^2 - 8*x + 12 = 0 ≡
≡ (x - 2)*(x - 6) = 0
con radici alle ascisse
* (x = 2) oppure (x = 6)
che individuano le richieste intersezioni A(2, 1) e B(6, 1) distanti la base di ABC
* b = |AB| = 6 - 2 = 2
mentre l'altezza è
* h = yC - 1
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Per completamento di quadrati si ha
* x^2 + y^2 - 8*x - 6*y + 17 = 0 ≡
≡ x^2 - 8*x + y^2 - 6*y + 17 = 0 ≡
≡ (x - 4)^2 - 4^2 + (y - 3)^2 - 3^2 + 17 = 0 ≡
≡ (x - 4)^2 + (y - 3)^2 - 4^2 - 3^2 + 17 = 0 ≡
≡ (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 8
da cui
* C(4, 3)
* r = √8 = 2*√2 ~= 2.8 < yC
* h = 3 - 1 = 2
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Infine l'area S richiesta, semiprodotto fra base e altezza, risulta
* S = b*h/2 = 2