Grafico di fuznioni.

y = e^(1/(2 - x))

C.E.

2 - x ≠ 0----> x ≠ 2

Funzione non negativa.

Intersezione con asse delle y:

{y = ^(1/(2 - x))

{x = 0

quindi: [x = 0 ∧ y = e^(1/2)]----> [0, e^(1/2)]

Condizioni agli estremi del C.E.

LIM(e^(1/(2 - x))) = 1

x---> -∞

LIM(e^(1/(2 - x))) = 1

x---> +∞

y=1 asintoto orizzontale

LIM(e^(1/(2 - x))) =+∞

x---> 2-

LIM(e^(1/(2 - x))) = 0

x---> 2+

x=2 asintoto verticale sinistro

Derivata prima

y'=e^(1/(2 - x))/(x - 2)^2

Laddove definita sempre crescente y'>0: true

Derivata seconda

y''= e^(1/(2 - x))·(5 - 2·x)/(x - 2)^4

y''>0 per x < 5/2

y''<0 per x > 5/2

per x=5/2 flesso

yF = e^(1/(2 - 5/2))----> yF= e^(-2)

i) funzione

$ y(x) = e^{\frac{1}{2-x}} $

• Dominio = ℝ\{2}
  • Un solo punto di discontinuità per x = 2
  • La funzione è positiva per ogni valore del suo dominio
  • La funzione è continua e derivabile essendo rispettivamente composizione di funzioni continue e funzioni derivabili.
• Asintoti verticali
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 2^-} y(x) = +\infty$
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 2^+} y(x) = 0$
  • Siamo di fronte a un asintoto verticale sinistro di equazione x =2
• Asintoti orizzontali
  • $ \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} y(x) = 1 $
  • Asintoto orizzontale di equazione y = 1

ii) derivata prima

$ y(x) = \frac{e^{\frac{1}{2-x}}}{(2-x)^2} $

• Segno derivata prima. La derivata prima è positiva in tutto il dominio. La funzione risulta strettamente crescente in:
  • (-∞, 2)
  • (2, +∞)

nota; La funzione y(x) NON è monotona strettamente crescente. Vedi grafico.

iii) derivata seconda

$ y"(x) = \frac{e^{\frac{1}{2-x}} (5-2x)} {2-x)^4} $ 

• Segno derivata seconda
  • y"(x) < 0  in (5/2, +∞) La funzione risulta ivi concava
  • y"(x) > 0 in (-∞, 2) e in (2, 5/2). La funzione risulta convessa nei due singoli intervalli
  • y"(x) = 0 per x = 5/2. Si tratta di un punto di flesso (y"(x) = 0 e cambio di concavità).

Grafico

https://www.desmos.com/calculator/hrz1rkrnlz