Grafico di funzioni

i) Funzione $ f(x) = log_2 \frac{x}{x^2-1} $

• Dominio
  • x ≠ ± 1
  • x/(x²-1) > 0  ⇒  x > 0 
• Dominio = (-1, 0) U (1, +∞)
  • tre punti di discontinuità x = -1; x = 0; e x = 1;

• Asintoti Verticali

• • x = -1
  • $ \displaystyle\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty$
  • Siamo in presenza di un asintoto verticale destro di equazione x = -1 

• • x = 0
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$
  • Siamo in presenza di un asintoto verticale sinistro di equazione x = 0

• • x = 1
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$
  • Siamo in presenza di un asintoto verticale destro di equazione x = 1 

• Asintoti orizzontali/obliqui
  • La presenza del logaritmo come ultima funzione della composizione ci fa intuire che non ve ne sono. Per provarlo è sufficiente calcolare m e q.

• Massimi/minimi assoluti

La funzione f(x) ha come risultati dei limiti +∞ e -∞. Ne segue che

• • sup f(x) = +∞. La funzione non ammette massimo assoluto
  • inf f(x) = -∞. La funzione non ammette minimo assoluto

• Zeri
  • $ f(x) = 0 \; ⇒ \; \frac{x}{x^2-1} = 1 \; ⇒ \; x_1 = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \; \lor \; x_21 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $

• Segno f(x)
  • f(x) < 0   in (x₁, 0) e in (x₂, +∞)
  • f(x) = 0   per x = x₁ e per x = x₂
  • f(x) > 0   in (-1, x₁) e in (1, x₂)

ii) Derivata prima  $ f'(x) = \frac{x^2+1}{ln(2) (x-x^3)}$

• Segno derivata prima nel dominio di f(x)
  • f'(x)  < 0 in tutto il dominio. La funzione è quindi monotona decrescente nell'intervallo (-1, 0) e nell'intervallo (1,+∞). nota: la funzione non è decrescente laddove definita
  • f'(x) = 0  Ø: ne consegue che non vi sono ne punti di massimo ne punti di minimo relativi
  • f'(x) > 0  Ø

iii) Derivata seconda f"$(x) = \frac{x^4+4x^2-1}{ln(2) x^2(x^2-1)^2}$

• Segno f"(x)
  • f"(x) = 0 
    • • per x = x₃ =  $- \sqrt{\sqrt{5}-2}$ fuori Dominio
      •  e per x = x₄ = $\sqrt{\sqrt{5}-2}$
  • f"(x) > 0  in (-1, x₄) La funzione è ivi convessa
  • f"(x) < 0  (x₄, 0) e in (1, +∞)  La funzione è ivi concava
• La funzione ammette un flesso per x = x₄

Grafico

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