Grafico di funzione

i) Analisi di y(x)

$ y(x) = \frac{1-log_2 x}{1+log_2 x} $

• Dominio
  • $ log x \; ⇒ \; x > 0 $
  • $ 1+log_2 x \ne 0 \; ⇒ \; x \ne \frac{1}{2}$
• Dominio = (0, 1/2 ) U (1/2, +∞)
  • Due punti di discontinuità x = 0   e   x = 1/2

• Discontinuità e asintoti verticali
  • x = 0
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} y(x) = -1 $
  • Discontinuità eliminabile

• • x = 1/2
  • $ \displaystyle\lim_{x \to (\frac{1}{2})^-} y(x) = -\infty $
  • $ \displaystyle\lim_{x \to (\frac{1}{2})^+} y(x) = +\infty $
  • Si tratta di un asintoto verticale di equazione x = 1/2

• Asintoto orizzontale 
  • $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) = -1 $
  • Si tratta di un asintoto orizzontale destro di equazione y = -1

• Zeri
  • $ y(x) = 0 \; ⇒ \; 1- log_2 x = 0   \; ⇒ \; x = 2$

• Segno

0_____1/2___________2______

+++++++++++++++0---------   1-log₂(x)

---------X+++++++++++++++   1+log₂(x)

---------X+++++++++0---------    y(x)

per cui

1. y(x) < 0   in (0, 1/2) e in (2, +∞)
2. y(x) = 0   per x = 2
3. y(x) > 0   in (1/2, 2)

• Max/min assoluti.
  • dai limiti segue che
  • inf y(x) = - ∞       la funzione non ammette un minimo assoluto
  • sup y(x) = + ∞    la funzione non ammette un massimo assoluto

ii) Analisi y'(x)

operiamo un cambio di base per rendere più agevole la derivata del logaritmo

$ y(x) = \frac {ln(2) - ln(x)}{ln(2x)} $

La derivata prima sarà

$ y'(x) = - \frac{ln(4)}{x \, ln^2(2x)} $

• Segno derivata prima
  • y'(x) = 0  Ø Non vi sono punti stazionari (nessun estremo relativo)
  • y'(x) > 0  Ø
  • y' (x) < 0 per ogni x del Dominio. La funzione è monotona strettamente decrescente in ognuno dei due intervalli che compongono il dominio. 

nota: la funzione non è globalmente decrescente. 

• Grafico

https://www.desmos.com/calculator/zthtv8ccon