Grafico di funzione.

$ y(x) = x^3ln|x|$

• Dominio = ℝ\{0}
  • Un solo punto di discontinuità
  • La funzione è dispari
  • La funzione è continua e derivabile laddove definita

• Asintoti Verticali
  • per x = 0 
  • $ \displaystyle\lim_{x \to 0} y(x) = 0 $
  • Nessun asintoto verticale. Si tratta di una discontinuità di terza specie ovvero eliminabile.
• Asintoti Orizzontali
  •  $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) = +\infty $
  • Per simmetria neppure a sinistra è possibile un asintoto orizzontale
• Asintoti Obliqui
  • A destra, nessuno l'ordine di infinito è maggiore di 3 invece di 1. E' sempre possibile dimostrarlo calcolare m che risulterà +∞
  • Per simmetria anche a sinistra non c'è un asintoto obliquo.

• Massimi/minimi assoluti.
  • i due limiti calcolati per gli asintoti orizzontali ci dicono che
    • sup y(x) = +∞, quindi non ci sono massimi assoluti
    • inf y(x) = -∞, quindi non ci sono minimi assoluti 

• Derivata prima. $ y'(x) = x^2(3ln|x|+1) $
• Punti stazionari. $x = 0 \; \lor \; x = ± e^{-\frac{1}{3}}$
• Segno derivata prima

_____-e⁻¹ᐟ³________0_________e⁻¹ᐟ³_____

+++++0--------------0--------------0+++++   y'(x)

....↗.....=........↘.......=........↘.......=....↗....    y(x)

1. y'(x) > 0  in (-∞, -e⁻¹ᐟ³) e in (e⁻¹ᐟ³, +∞) dove la funzione risulta monotona crescente
2. y'(x) = 0  per x = 0 e per x = ± e⁻¹ᐟ³
3. y'(x) < 0 in (-e⁻¹ᐟ³, 0) e in  (0, e⁻¹ᐟ³)

dalle quali risulta

• • x = 0 punto di flesso orizzontale
  • x = -e⁻¹ᐟ³ è un punto di massimo M(-e⁻¹ᐟ³, 1/(3e)) 
  • x = e⁻¹ᐟ³ è un punto di minimo N(e⁻¹ᐟ³, -1/(3e))  

• derivata seconda. y"$(x) = x(6ln|x|+5) $
  • Flessi per:
  • $x = 0$ (già incontrato)
  • $x = ±e^{-\frac{5}{6}}$

• Segno derivata seconda

_____-e⁻⁵ᐟ⁶______0______e⁻⁵ᐟ⁶_______

---------------------0++++++++++++++  x

+++++0----------X-----------0+++++++   6ln|x|+5

--------0++++++X-----------0+++++++   y"(x)

...∩....≠........∪.....≠......∩.....≠......∪.......    y(x)

• Grafico

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