[Risolto] Goniometria e circonferenza

Dovrei essermi arreso da un pezzo, e invece insisto: sono un vecchiaccio ostinato.
1) Leggere il testo con MOLTA calma.
2) Rilevare le proprietà geometriche.
3) Attenersi ai metodi più semplici disponibili.
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Il testo:
* chiede l'ampiezza dell'angolo x interno al vertice A di un triangolo isoscele con vertici T1 e T2 ed angoli y alla base;
* fornisce le coordinate di A e quanto occorre al calcolo di T1 e T2 da cui ricavare la richiesta ampiezza di x.
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Ricavando dalla forma normale standard fornita
* Γ ≡ (x - 4)^2 + y^2 = 4
la forma normale canonica della circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 8*x + 12 = 0
ed applicando a questa gli sdoppiamenti rispetto al polo A(8, 4) si ha la polare
* p ≡ 8*x + 4*y - 8*(8 + x)/2 + 12 = 0 ≡ y = 5 - x
le cui intersezioni con Γ sono i punti di tangenza cercati
* p & Γ ≡ (y = 5 - x) & ((x - 4)^2 + y^2 = 4) ≡
≡ T1((9 - √7)/2, (1 + √7)/2) oppure T2((9 + √7)/2, (1 - √7)/2)
QUESTA PARTE HA RICHIESTO quattro passaggi in nove righe.
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Il triangolo di vertici
* ((9 - √7)/2, (1 + √7)/2), ((9 + √7)/2, (1 - √7)/2), (8, 4)
ha
* lato di base b = √14
* lato di gamba g = 2*√7
QUESTA PARTE HA RICHIESTO il calcolo di due distanze.
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Per ottenere x basta applicare il primo punto (Carnot) della procedura
http://it.wikipedia.org/wiki/Trigonometria#Risolvere_un_triangolo_noti_i_tre_lati_(a,_b,_c)
* cos(x) = (2*g^2 - b^2)/(2*g^2) =
= 1 - (b/g)^2/2 = 1 - (√14/(2*√7))^2/2 = 3/4
da cui
* x = arccos(3/4) ~= 41° 24' 34.64''
QUESTA PARTE HA RICHIESTO un rapporto, un quadrato, un dimezzamento.
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ATTENZIONE
* tg(arccos(3/4)) = √7/3
che è il risultato atteso.

Te lo svolgo per intero così verifichi se ci sono errori. Centro C = (4,0); r = 2

fascio di rette    y - 4 = m (x - 8 )

 

mx - y - 8m + 4 = 0

Distanza centro - tangente = r

| m*4 - 8m + 4 |/sqrt(m^2 + 1) = 2

|4 - 4m| = 2 sqrt(m^2 + 1)

 

16 (m^2 - 2m + 1) = 4(m^2 +1)

4m^2 - 8m + 4 - m^2 - 1= 0

3m^2 - 8m + 3 = 0

Questa certamente non é quella che hai trovato tu perché ha le radici reciproche

mentre per i tuoi valori m1 = m2 = 4/3. Quindi l'errore ( di calcolo ) é nel segmento

precedente dello svolgimento.

 

D = B^2 - 4AC = 64 - 4*3*3 = 64 - 36 = 28 > 0 => le tangenti esistono

 

tg alfa = |m2 - m1|/(1 + m1m2) = sqrt(D)/|A| : (1 + C/A)

 

tg alfa = sqrt(28)/3 : (1 + 3/3) = 2 sqrt(7)/3 * 1/2 = 1/3 sqrt(7)

 

alfa = arctg* [ sqrt(7)/3 ].

 

Di nuovo.

(x - 4)^2 + y^2 = 4 riconosco: r=2 e coordinate centro C(4,0)

Vediamo altre alternative di soluzione oltre a quelle che abbiamo visto più volte!

OK?

Altro modo: determino la polare con le formule di sdoppiamento (la polare è la retta passante per i punti di tangenza delle rette tangenti alla circonferenza)

8·x + 4·y - 8·(x + 8)/2 + 12 = 0----->4·x + 4·y - 20 = 0

x + y - 5 = 0  oppure y = 5 - x

Determino i punti di tangenza:

{x^2 + y^2 - 8·x + 12 = 0

{y = 5 - x

risolvo ed ottengo:

x = (√7 + 9)/2 ∧ y = - (√7 - 1)/2

v

x = - (√7 - 9)/2 ∧ y = (√7 + 1)/2

determino la distanza d del punto A dato da C

d=√((8 - 4)^2 + (4 - 0)^2) = 4·√2=AC 

Continuo dopo...........

Riprendo. il raggio è 2. Quindi la distanza BC=2 (vedi figura allegata).

Con riferimento alla figura allegata e quindi al triangolo ABC rettangolo:

SIN(β) =BC/AC=2/(4·√2) = √2/4 ------>β=ASIN(√2/4) = 0.3613671239 radianti

L'angolo è il doppio:α = 0.7227342478 in radianti. In gradi sessadecimali:

0.7227342478/pi = x/180  -------> x = 41.40962210°=α

 

 

 

Diamo un taglio goniometrico come suggerito dal titolo.

• Circonferenza
  • centro C(4,0)
  • raggio r=2
• Indico con T uno dei due punti di tangenza

dalla geometria segue che il triangolo ATC è rettangolo in T e che l'angolo TA^C = α è la metà dell'angolo x richiesto.

Determiniamo i lati del triangolo ATC

• CT = 2 (è un raggio)
• AC = 4√2 (è la distanza del punto A(8,4) dal centro C(4,0)
• TA = 2√7 (con Pitagora dai due valori precedenti)

 per cui, applicando la definizione di tangente

tan(α) = CT/TA = 1/√7

applicando la formula di duplicazione

tan(x) = tan(2α) = 2*tan(α)/[1-tan²(α)] = 2/[√7(1-1/7)] = √7/3

dall'inversa

x = arctan (√7 /3)