[Risolto] Goniometria, circonferenza e triangolo inscritto

Ciao @mirea00

Ti consiglio di fare su un foglio a quadretti un disegno. Ti allego in fondo la mia figura.

Osservo che i punti B e C hanno la stessa ordinata. Calcolo asse del segmento BC che sarà quindi verticale e corda della circonferenza da trovare:

x = (-1 + 2)/2-------> x = 1/2 (media delle due ascisse)

Quindi asse corda AC:

√((2 - x)^2 + (3 - y)^2) = √((-2 - x)^2 + (-1 - y)^2)   

(equidistanza del punto dell'asse da A e da C)

elevo al quadrato:

(x^2 - 4·x + 4) + (y^2 - 6·y + 9) = (x^2 + 4·x + 4) + (y^2 + 2·y + 1)

e risolvo rispetto a y: ----->y = 1 - x

Metto quindi a sistema:

{ x = 1/2

{y = 1 - x

Ottengo il centro della circonferenza:  x = 1/2 ∧ y = 1/2 ; D(1/2,1/2)

Quindi anche l'equazione essendo il raggio di essa pari a:

r=√((2 - 1/2)^2 + (3 - 1/2)^2) = √34/2

Quindi:

(x - 1/2)^2 + (y - 1/2)^2 = (√34/2)^2---->2·x^2  + 2·y^2- 2·x - 2·y + 1 - 17 = 0

Adesso fai riferimento alla figura che ti ho inviato:

δ/2 = ATAN(1.5/2.5)----->δ = 2·ATAN(3/5)

Riprendo fra un po'....

Riprendo.                               δ = 1.080839000

è l'angolo richiesto espresso in radianti. In angoli sessadecimali:

1.080839/pi = x/180------->x = 61.93° (circa)

Il circumcentro D(x, y) è l'unico punto del piano equidistante dai vertici
* A(- 2, - 1), B(- 1, 3), C(2, 3)
e la comune distanza è il circumraggio R del circumcerchio Γ.
Ciò consente di scrivere il sistema di tre equazioni in (x, y, R)
* |AD|^2 = |BD|^2 = |CD|^2 = R^2 ≡
≡ (x + 2)^2 + (y + 1)^2 = (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = R^2 ≡
≡ ((x + 2)^2 + (y + 1)^2 = (x + 1)^2 + (y - 3)^2) & ((x + 1)^2 + (y - 3)^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2) & ((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = R^2) & (R > 0) ≡
≡ (2*x + 8*y - 5 = 0) & (6*x - 3 = 0) & ((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = R^2) & (R > 0) ≡
≡ (x = 1/2) & (2*1/2 + 8*y - 5 = 0) & ((1/2 - 2)^2 + (y - 3)^2 = R^2) & (R > 0) ≡
≡ (x = 1/2) & (y = 1/2) & ((1/2 - 2)^2 + (1/2 - 3)^2 = R^2) & (R > 0) ≡
≡ (x = 1/2) & (y = 1/2) & (R = √(17/2))
da cui
* Γ ≡ (x - 1/2)^2 + (y - 1/2)^2 = 17/2
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Il richiesto angolo al centro
* BDC = δ
è l'angolo al vertice del triangolo BDC, isoscele sulla base BC, con
* lato di base |BC| = b = 3
* lati di gamba = r = √(17/2) ~= 2.915 < 3 (quasi equilatero: δ ~= π/3)
e si ricava dal Teorema di Carnot
* b^2 = 2*r^2 - (2*r^2)*cos(δ) ≡
≡ 9 = 17 - 17*cos(δ) ≡
≡ δ = ± arccos(8/17) ≡
≡ δ = arccos(8/17) (poiché δ ~= π/3)
NOTA
* tg(arccos(8/17)) = 15/8
che è proprio il risultato atteso.