E' data la parabola di equazione $y=8-2 x^2$. Siano $A$ e $B\left(x_A<x_B\right)$ i punti di intersezione della parabola con l'asse $x$. Determina un punto $P$, sull'arco $\overparen{A B}$ di parabola, tale che $A \widehat{P} B=45^{\circ}$.
Qualcuno così gentile da aiutarmi?
Grazie in anticipo!
111
punti
Livello 1
L'angolo θ formato da due rette di coefficienti angolari η e μ è dato dall'equazione:
TAN(θ) = ABS((η - μ)/(1 + η·μ))
per θ = 45° si dovrà risolvere quindi l'equazione in modulo:
ABS((η - μ)/(1 + η·μ)) = 1
Quindi si dovranno considerare due rette passanti per due punti.
[x, 8 - 2·x^2]
[-2, 0]
i cui coefficienti angolari sono pari a quelli dei segmenti che hanno per estremi il punto P ed i punti A e B intersezioni della parabola con l'asse delle x
η = (0 - (8 - 2·x^2))/(-2 - x)----> η = 2·(2 - x)
[x, 8 - 2·x^2]
[2, 0]
μ = (0 - (8 - 2·x^2))/(2 - x)----> μ = - 2·(x + 2)
Quindi:
ABS((2·(2 - x) + 2·(x + 2))/(1 + (2·(2 - x))·(- 2·(x + 2)))) = 1
ABS(8/(4·x^2 - 15)) = 1
8/(4·x^2 - 15) = 1 ∨ 8/(4·x^2 - 15) = -1
Quindi risolvendo si ottiene:
x = - √23/2 ∨ x = √23/2 ∨ x = - √7/2 ∨ x = √7/2
Le prime due radici sono da scartare in quanto determinano punti di uguale ordinata negativa ( la funzione è pari)
y = 8 - 2·x^2
per x = √23/2: y = 8 - 2·(√23/2)^2---> y = - 7/2
per x = √7/2: y = 8 - 2·(√7/2)^2---> y = 9/2
Quindi i due punti :
P1(-√7/2,9/2) e P2(√7/2,9/2)
78383
punti
Genius II
